Semigrupo regular
Na matemática, mais especificamente em álgebra, um semigrupo regular é um semigrupo S em que todo elemento é regular, isto é, para cada elemento a, existe (pelo menos) um elemento x tal que axa = a.[1] Os semigrupos regulares formam uma das classes mais estudadas de semigrupos e sua estrutura é particularmente favorável ao estudo por meio das relações de Green.[2]
Origens editar
Os semigrupos regulares foram introduzidos por J. A. Green em seu artigo influente de 1951 "On the structure of semigroups"; este também foi o artigo em que as relações de Green foram introduzidas. O conceito de regularidade em um semigrupo foi adaptado de uma condição análoga para anéis, que já havia sido considerada por J. von Neumann.[3] Foi o estudo dos semigrupos regulares que levou Green a definir as célebres relações que hoje levam seu nome. De acordo com uma nota de rodapé em Green 1951, a sugestão de aplicar a regularidade aos semigrupos foi feita primeiramente por David Rees.
O básico editar
Há duas formas equivalentes de definir um semigrupo regular S:
- Para cada a em S, existe algum elemento x de S, que é chamado de um pseudo-inverso,[4] tal que axa = a;
- Todo elemento a tem pelo menos um inverso b, no sentido de que aba = a e bab = b.
Para ver a equivalência destas definições, suponha primeiramente que S é definido da segunda maneira. Então b desempenha o papel do x que é exigido na primeira definição. Reciprocamente, se S é definido da primeira forma, então xax é um inverso para a, pois a(xax)a = axa(xa) = axa = a e (xax)a(xax) = x(axa)(xax) = x(axa)x = xax.[5]
O conjunto de inversos (no sentido acima) de um elemento a em um semigrupo arbitrário S é denotado por V(a).[6] Então, outra forma de expressar a segunda definição é dizer que em um semigrupo regular S, V(a) é não vazio para todo elemento a de S. O produto de um elemento a com qualquer bem V(a) é sempre um idempotente: abab = ab, uma vez que aba = a.[7]
Um semigrupo regular em que os idempotentes comutam é um semigrupo inverso, isto é, todo elemento possui um único inverso. Para ver isso, seja S um semigrupo regular em que todos os idempotentes comutam. Então todo elemento de S tem pelo menos um inverso. Suponha que b e c sejam inversos de a em S, isto é,
- aba = a, bab = b, aca = a e cac = c. Além disso ab, ba, ac e ca são idempotentes como acima.
Então
- b = bab = b(aca)b = bac(a)b =bac(aca)b = bac(ac)(ab) = bac(ab)(ac) = ba(ca)bac = ca(ba)bac = c(aba)bac = cabac = cac = c.
Então, comutando os idempotentes ab e ac e também os idempotentes ba e ca, mostra-se que o inverso de a é único. Reciprocamente, pode-se demonstrar que qualquer semigrupo inverso é um semigrupo regular em que os idempotentes comutam.[8]
A existência de um único pseudo inverso implica na existência de um único inverso, mas o contrário não é verdadeiro. Por exemplo, no semigrupo inverso simétrico, a transformação vazia não tem um único pseudo inverso, pois Ø = ØfØ para qualquer aplicação f. No entanto, o inverso de Ø é único, pois apenas uma f satisfaz a restrição adicional de que f = ØfØ, a saber f = Ø. Esta observação vale em geral em qualquer semigrupo com zero. Além disso, se qualquer elemento possui um único pseudoinverso, então o semigrupo é um grupo, e o único pseudo inverso de um elemento coincide com o inverso da definição de grupo[9]
Teorema. Toda imagem homomórfica de um semigrupo regular é regular.[10]
Exemplos editar
- Todo grupo é regular.
- Todo semigrupo inverso é regular.
- Toda banda (semigrupo idempotente) é regular no sentido deste artigo, mas isso não é o mesmo que uma banda regular.
- O semigrupo bicíclico é regular.
- Qualquer semigrupo de transformações é regular.
- Um semigrupo de matrizes de Rees é regular.
Ver também editar
Notas editar
- ↑ Howie 1995 : 54.
- ↑ Howie 2002.
- ↑ von Neumann 1936.
- ↑ Klip, Knauer e Mikhalev : p. 33
- ↑ Clifford e Preston 1961 : Lemma 1.14.
- ↑ Howie 1995 : p. 52.
- ↑ Clifford e Preston 1961 : p. 26.
- ↑ Howie 1995 : Theorem 5.1.1.
- ↑ Demonstração: http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=6391
- ↑ Howie 1995 : Lema 2.4.4.
Referências editar
- A. H. Clifford and G. B. Preston, The Algebraic Theory of Semigroups, Volume 1, Mathematical Surveys of the American Mathematical Society, No. 7, Providence, R.I., 1961.
- J. M. Howie, Fundamentals of Semigroup Theory, Clarendon Press, Oxford, 1995.
- M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7.
- J. A. Green (1951). «On the structure of semigroups». Annals of Mathematics. Annals of Mathematics (2). 54 (1): 163–172. JSTOR 1969317. doi:10.2307/1969317
- J. M. Howie, Semigroups, past, present and future, Proceedings of the International Conference on Algebra and Its Applications, 2002, 6–20.
- J. von Neumann (1936). «On regular rings». Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA. 22 (12): 707–713. PMC 1076849
. PMID 16577757. doi:10.1073/pnas.22.12.707
