Sistema de Lotka-Volterra Fracionário
O sistema de Lotka-Volterra, desenvolvido na década de 1920, constitui-se de duas equações diferenciais que de modo geral descrevem a interação entre duas populações, geralmente, uma população de presas e outra de predadores. [1] Esse sistema em sua forma básica pressupõe que existe alimento em abundância para as presas e que os predadores são extintos na ausência destas. Esta simplicidade provoca restrições ao modelo, por isso, na tentativa de torná-lo mais realístico alterações podem ser realizadas, sendo comum sua adaptação ao modelo Logístico, [2] e o uso do cálculo fracionário, [3] mas existem diversas outras modificações possíveis.
O modelo de Lotka-Volterra fracionário [4] visa atenuar algumas limitações do modelo básico, como crescimento exponencial das presas na ausência do predador, a extinção de predadores na ausência das presas, falta de complexidade ambiental como a movimentação aleatória de ambas as populações em um meio homogêneo, entre outros.
História editar
As equações de Lotka-Volterra foram desenvolvidas de modo independente, pelo biofísico Alfred J. Lotka (1880-1949) e pelo matemático Vito Volterra (1860-1940). Dada a forma do surgimento das equações, o modelo foi chamado de Lotka-Volterra. O desenvolvimento das equações por parte de Volterra se deu a partir de estudos acerca da interação entre certas populações de peixes no mar adriático, quanto a Lotka, este analisava a dinâmica de drosófilas. O primeiro livro sobre biologia matemática, Elements of Mathematical Biology, tem autoria deste último. [5]
O cálculo fracionário, ou de ordem arbitrária, originou-se no século XVII, a partir de uma pergunta formulada numa troca de correspondências entre Leibniz e L'Hôpital. Numa destas correspondências, Leibniz o questiona sobre a generalização da derivada de ordem inteira para uma ordem a princípio, arbitrária, ao que L'Hopital lhe devolve a pergunta com pedido de esclarecimento sobre qual seria sua interpretação de uma derivada de ordem na notação de Leibniz, . Desde então, muitos matemáticos e pesquisadores, tem contribuído para este campo, sendo que atualmente suas aplicações adentram campos do conhecimento como Matemática, Física, Química, Biologia entre outras áreas.
Resumo do sistema de Lotka-Volterra clássico editar
Sejam e constantes positivas. Considere por simplicidade que, denota a população de presas e a população de predadores no tempo , nestas condições é dado o seguinte par de equações
Este sistema tem duas soluções de equilíbrios, e . Com o uso da Regra da Cadeia pode-se unificar este sistema numa única equação diferencial, obtendo-se
cuja solução geral é dada por
na qual é a constante de integração e as trajetórias definidas pelo sistema são as curvas de níveis da função
Sistema de Lotka-Volterra fracionário editar
Com o objetivo de amenizar certas restrições inerentes ao modelo clássico de Lotka-Volterra, apresenta-se a generalização fracionária do sistema, isto é,
Na qual 0 < ≤ 1, e são constantes positivas e as derivadas fracionárias são tomadas no sentido de Caputo. Assim como no modelo clássico, e representam, respectivamente, as populações de presas e predadores, ambas no instante . O fato das ordens e poderem ser distintas ameniza a falta de complexidade ambiental no modelo, tornando-o mais realístico, assim como os valores de e , e das constantes e serem determinadas experimentalmente.
A dimensão efetiva do sistema, , é dada pela soma das ordens da equação, isto é,
A fim de analisar as soluções para o sistema fracionário, assim como no caso clássico, pode-se introduzir as variáveis e , de modo que
- e
Fazendo uso da derivada fracionária no sentido de Caputo, com as devidas substituições de variáveis e simplificações tem-se,
Do qual, o sistema linearizado correspondente, é dado por
Solução do sistema fracionário linearizado editar
Com o propósito de resolver o sistema fracionário linearizado aplica-se a transformada de Laplace nas duas equações, donde tem-se
Em que, e , e além disso, e denotam, respectivamente, as populações iniciais de presa e predador.
A partir deste ponto, ao isolar na segunda equação e substituir sua expressão na primeira, e de modo análogo, isolar na primeira equação e substituir a equação resultante na segunda, chega-se às seguintes transformadas
Assim, tendo em vista que se busca as soluções das respectivas equações do sistema fracionário linearizado, aplica-se nestas equações a transformada de Laplace inversa, donde tem-se as seguintes soluções
nas quais e denotam as funções de Mittag_Leffler [6] de um e dois parâmetros, respectivamente.
Exemplo numérico editar
Modelos numéricos em geral são capazes de revelar a forma das soluções conforme se variam as ordens das derivadas. As figuras apresentadas representam as soluções do sistema na forma linearizada, sendo consideradas para as constantes os valores e . Além disso, as condições iniciais escolhidas são e .
Para cada uma das possíveis combinações dos parâmetros e , que identificam as derivadas fracionárias de e , tem-se uma curva correspondente, de modo que a partir destas observa-se como e influenciam o comportamento das soluções em torno do ponto crítico, , de acordo com as condições estipuladas.
Algumas análises podem feitas a partir dos gráficos, por exemplo, quando e tem-se uma elipse centrada em , o que é normal devido as derivadas serem de ordem inteira, mas este fato também sugere ser a versão fracionária uma generalização do caso clássico. Além disso, nota-se que conforme se diminui o valor das ordens das derivadas tem se uma convergência para o ponto , e isto de modo cada vez mais acentuado.
A dimensão efetiva do sistema, , sugere certa influência no comportamento das curvas, uma vez que soluções obtidas a partir de equações com mesmo valor apresentam traços semelhantes.
Embora o sistema resolvido tenha sido linearizado, a partir das soluções apresentadas percebe-se sob certo aspecto o quanto este modelo denota um caráter mais realístico comparado à versão clássica de Lotka-Volterra, pois conforme a dimensão efetiva do sistema diminui a população das duas espécias tendem a escapar do ciclo da extinção, sendo esta uma característica real das populações devido a outros fatores não considerados.
Referências
- ↑ BASSANEZI, R.C. Ensino Aprendizagem com Modelagem Matemática. p 362, Editora Contexto, 2013.
- ↑ STEWART, James. Calculo. p.638, Editora Thomsom Learning, 2007, V.2.
- ↑ CAMARGO, R.F. Cálculo fracionário e aplicações. 2009. 141f. Tese (Doutorado em Matemática) - Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, Unicamp, Campinas - SP.
- ↑ CAMARGO, R.F.; OLIVEIRA, E.C. Cálculo Fracionário. p 138, Editora Livraria da Física, 2015.
- ↑ WILLIAM E. B. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. p 414. Editora LTC, 2010
- ↑ TEODORO, G. S. Cálculo Fracionário e as Funções de Mittag-Leffler. Campinas, 2014. 80p. Dissertação (Mestrado) - Instituto de Matemática, Estatística e Computacão Científica, Universidade Estadual de Campinas.