Soma de Cesàro

Em análise matemática, a soma de Cesàro é um meio alternativo de descrever a soma de uma série infinita. Se a série converge, no senso usual, para uma soma α, então a série é também somável por Cesàro e possui valor α. A importância da soma de Cesàro é que uma série divergente pode ter uma soma de Cesàro bem definida.

O método recebe esse nome em homenagem ao matemático italiano Ernesto Cesàro (1859-1906).

Definição

Seja $(a_{n})$ uma seqüência, e seja

$s_{k}=a_{1}+\cdots +a_{k}$

onde $s_{k}$ é a k-ésima soma parcial da série

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$.

A seqüência $(a_{n})$ é dita somável no sentido de Cesàro, com soma de Cesàro igual a $\alpha$, se

$\lim _{n\to \infty }{\frac {s_{1}+\cdots +s_{n}}{n}}=\alpha$.

Exemplos

Seja $a_{n}=(-1)^{(n+1)}$ para $n\geq 1$. Isto é, $(a_{n})$ é a seqüência

$1,-1,1,-1,\ldots$.

Então a seqüência das somas parciais $(s_{n})$ é

$1,0,1,0,\ldots$,

então esta série, conhecida como série de Grandi, claramente não converge. Por outro lado, os temos da sequência $({\dfrac {s_{1}+...+s_{n}}{n}})$ são

${\frac {1}{1}},\,{\frac {1}{2}},\,{\frac {2}{3}},\,{\frac {2}{4}},\,{\frac {3}{5}},\,{\frac {3}{6}},\,{\frac {4}{7}},\,{\frac {4}{8}},\,\ldots$,

e daí

$\lim _{n\to \infty }{\frac {s_{1}+\cdots +s_{n}}{n}}=1/2$.

Conseqüentemente a soma de Cesàro da seqüencia $(a_{n})$ é ${\dfrac {1}{2}}$.

Generalizações

Em 1890, Ernesto Cesàro determinou uma extensa família de métodos de soma que haviam sido chamadas $(C,n)$ para inteiros não negativos $n$. O método $(C,0)$ é apenas uma somatória ordinária, e $(C,1)$ é a somatória de Cesàro como descrita acima.

Os métodos de alta ordem podem ser descritos como segue: dada uma série $\sum a_{n}$, definem-se as quantidades

$A_{n}^{-1}=a_{n};A_{n}^{\alpha }=\sum _{k=0}^{n}A_{k}^{\alpha -1}$

e define-se E_n^α como sendo A_n^α para a série 1 + 0 + 0 + 0 + · · ·. Então a soma $(C,\alpha )$ de $\sum a_{n}$ é

$\lim _{n\to \infty }{\frac {A_{n}^{\alpha }}{E_{n}^{\alpha }}}$

se ela existir.

Referências

Shawyer, Bruce and Bruce Watson (1994). Borel's Methods of Summability: Theory and Applications. [S.l.]: Oscford UP. ISBN 0-19-853585-6