Spherium

O modelo spherium consiste de dois elétrons presos na superfície de uma esfera de raio $R$. Ele tem sido usado por Berry e colaboradores para entender tantos sistemas fracamente e fortemente correlacionados e sugeri uma versão "alternativa" para a regra de Hund. Seidl estuda esse sistema no contexto da teoria do funcional da densidade (DFT) para desenvolver a nova funcionais correlaçõe dentro da conexão adiabática.

Definição e solução

O Hamiltoniano eletrônico em unidades atômicas, é

${\hat {H}}=-{\frac {\nabla _{1}^{2}}{2}}-{\frac {\nabla _{2}^{2}}{2}}+{\frac {1}{u}}$

onde $u$ é a distância intereletrônica. Para os estados singletos, pode ser mostrado que a função de onda ${\displaystyle }$ satisfaz a equação de Schrödinger

$\left({\frac {u^{2}}{4R^{2}}}-1\right){\frac {d^{2}S(u)}{du^{2}}}+\left({\frac {3u}{4R^{2}}}-{\frac {1}{u}}\right){\frac {dS(u)}{du}}+{\frac {1}{u}}S(u)=ES(u)$

Introduzindo a variável adimensional $x=u/2R$, isso se torna uma função de Heun com pontos singulares em $x=-1,0,+1$. Com base nas conhecidas soluções de Heun, buscamos funções de onda da forma

$S(u)=\sum _{k=0}^{\infty }s_{k}\,u^{k}$

e substituição na equação anterior produz arelação de recorrência

$s_{k+2}={\frac {s_{k+1}+\left[k(k+2){\frac {1}{4R^{2}}}-E\right]s_{k}}{(k+2)^{2}}}$

com os valores iniciais $s_{0}=s_{1}=1$. Assim, a condição de cúspide Kato é

${\frac {S'(0)}{S(0)}}=1$.

A função de onda reduz para o polinomial

$S_{n,m}(u)=\sum _{k=0}^{n}s_{k}\,u^{k}$

(onde $m$ o número de raízes entre $0$ e $2R$) se, e somente se, $s_{n+1}=s_{n+2}=0$. Assim, a energia $E_{n,m}$ é uma raiz da equação polinomial $s_{n+1}=0$ (onde $\deg s_{n+1}=\lfloor (n+1)/2\rfloor$) e o raio correspondente $R_{n,m}$ é encontrado a partir da equação anterior, o que gera

$R_{n,m}^{2}E_{n,m}={\frac {n}{2}}\left({\frac {n}{2}}+1\right)$

$S_{n,m}(u)$ é a exata função de onda do $m$-esimo estado excitado da simetria singleto S para o raio $R_{n,m}$.

Sabemos que a partir do trabalho de Loos e Gill que a energia HF do menor estado singleto S $E_{\rm {HF}}=1/R$. Segue-se que a exata correlação energia para $R={\sqrt {3}}/2$ é $E_{\rm {corr}}=1-2/{\sqrt {3}}\approx -0.1547$ que é muito maior do que a limitação da correlação das energias do íons como hélio ($-0.0467$) ou os átomos de Hooke ($-0.0497$). Isso confirma a visão de que a correlação de elétron na superfície de uma esfera é qualitativamente diferente do que em três dimensões de espaço físico.

Spherium em uma esfera tridimensional

Trabalhos recentes de Loos et al. considerado o caso de dois elétrons confinados em uma esfera tridimensional se repelindo coulombicalmente. Eles relatam um estado fundamental de energia de ($-.0476$).

Veja também

• Lista de sistemas de mecânica quântica com soluções analíticas

Leitura complementar

• Loos, P.-F.; Gill, P. M. W. (2009), «Two electrons on a hypersphere: a quasiexactly solvable model», Physical Review Letters, 103, Bibcode:2009PhRvL.103l3008L, PMID 19792435, doi:10.1103/physrevlett.103.123008  |journal= e |work= redundantes (ajuda); |last1= e |last= redundantes (ajuda); |first1= e |first= redundantes (ajuda); |pmid= e |PMID= redundantes (ajuda); |DOI= e |doi= redundantes (ajuda)