Spin-½

Na mecânica quântica, o spin é uma propriedade intrínseca de todas as partículas elementares. Os férmions têm spin semi-inteiro e partículas de spin-½ constituem um subconjunto importante de tais férmions. Todos os férmions elementares conhecidos têm spin-½. O estado quântico de uma partícula de spin-½ pode ser descrito por um vetor de valores complexos com dois componentes chamados de espinores.

Descrição matemática

O estado quântico de uma partícula de spin-½ pode ser descrito por um vetor de valor complexo com dois componentes chamados: um espinor. Estados observáveis das partículas são então encontrada pelos spin operadores, S_x, S_y e S_z, e o spin operador total, "S". Quando os espinores são usados para descrever os estados quânticos, os três spins operadores (S_x, S_y e S_z), podem ser descritos por matrizes 2x2 chamada matrizes de Pauli cujos autovalores são ±ħ⁄2.

Por exemplo, a projeção do operador de spin S_z afeta uma medição da rotação na direção z.

$S_{z}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{z}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}$

Os dois autovalores de S_z, ±ħ⁄2, então correspondem aos seguintes auto espinores:

$\chi _{+}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}=\left\vert {s_{z}=+\textstyle {\frac {1}{2}}}\right\rangle =|{\uparrow }\rangle =|0\rangle$

$\chi _{-}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}=\left\vert {s_{z}=-\textstyle {\frac {1}{2}}}\right\rangle =|{\downarrow }\rangle =|1\rangle .$

Esses vetores formam uma base completa para o espaço de Hilbert descrevendo a partícula spin-½. Assim, combinações lineares destes dois estados podem representar todos os possíveis estados do spin, inclusive na direções x e y.

Os operadores escada são:

$S_{+}=\hbar {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},S_{-}=\hbar {\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}}$

Desde de que S_±=S_x±iS_y, S_x=1⁄2(S₊+S_-), e S_y=1⁄2i(S₊-S_-). Então:

$S_{x}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{x}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}$

$S_{y}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{y}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}$

Seus auto-espinores normalizados podem ser encontrados na forma habitual. Para S_x, eles são:

$\chi _{+}^{(x)}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}=\left\vert {s_{x}=+\textstyle {\frac {1}{2}}}\right\rangle$

$\chi _{-}^{(x)}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}=\left\vert {s_{x}=-\textstyle {\frac {1}{2}}}\right\rangle$

Para S_y, eles são:

$\chi _{+}^{(y)}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}}=\left\vert {s_{y}=+\textstyle {\frac {1}{2}}}\right\rangle$

$\chi _{-}^{(y)}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix}}=\left\vert {s_{y}=-\textstyle {\frac {1}{2}}}\right\rangle$