O tensor de tensão de Maxwell (em homenagem a James Clerk Maxwell) é um tensor simétrico de segunda ordem usado no eletromagnetismo clássico para representar a interação entre as forças eletromagnéticas e o momento mecânico. Em situações simples, como uma carga pontual movendo-se livremente em um campo magnético homogêneo, é fácil calcular as forças sobre a carga a partir da lei de força de Lorentz. Quando a situação se torna mais complicada, esse procedimento comum pode se tornar impraticável, com equações abrangendo várias linhas. Portanto, é conveniente coletar muitos desses termos no tensor de tensão de Maxwell e usar a aritmética de tensores para encontrar a resposta para o problema em questão.
Conforme descrito abaixo, a força eletromagnética é escrita em termos de e . Usando o cálculo vetorial e as equações de Maxwell, a simetria é procurada nos termos contendo e , e a introdução do tensor de tensão de Maxwell simplifica o resultado.
Equações de Maxwell em unidades SI em vácuo (para referência)
Nome
Forma diferencial
Lei de Gauss (no vácuo)
Lei de Gauss para magnetismo
Equação de Maxwell – Faraday (Lei de indução de Faraday)
Lei dos circuitos de Ampère (no vácuo) (com a correção de Maxwell)
Essa expressão contém todos os aspectos do eletromagnetismo e do momento e é relativamente fácil de calcular. Pode ser escrito de forma mais compacta introduzindo o tensor de tensão de Maxwell,
Todos, exceto o último termo de podem ser escritos como a divergência do tensor de tensão de Maxwell, dando:
Como no teorema de Poynting, o segundo termo no lado direito da equação acima pode ser interpretado como a derivada temporal da densidade de momento do campo eletromagnético, enquanto o primeiro termo é a derivada temporal da densidade de momento para as partículas massivas. Desta forma, a equação acima será a lei de conservação do momento na eletrodinâmica clássica.
onde o vetor de Poynting foi introduzido
na relação acima para a conservação do momento, é a densidade do fluxo de momento e desempenha um papel semelhante a no teorema de Poynting.
A derivação acima assume conhecimento completo de ambos e (tanto cargas livres quanto limitadas e correntes). Para o caso de materiais não lineares (como ferro magnético com uma curva BH), o tensor de tensão de Maxwell não linear deve ser usado.[1]
onde é o produto diádico, e o último tensor é a díade unitária:
O elemento do tensor de tensão de Maxwell tem unidades de momento por unidade de área por unidade de tempo e fornece o fluxo de momento paralelo ao -ésimo eixo cruzando uma superfície normal ao -ésimo eixo (na direção negativa) por unidade de tempo.
Essas unidades também podem ser vistas como unidades de força por unidade de área (pressão negativa), e o elemento do tensor também pode ser interpretado como a força paralela ao -ésimo eixo sofrida por uma superfície normal ao -ésimo eixo por unidade de área. De fato, os elementos diagonais fornecem a tensão (puxando) atuando em um elemento de área diferencial normal ao eixo correspondente. Ao contrário das forças devido à pressão de um gás ideal, um elemento de área no campo eletromagnético também sente uma força em uma direção que não é normal ao elemento. Este cisalhamento é dado pelos elementos fora da diagonal do tensor de tensão.
O tensor de tensão de Maxwell é um número complexo cuja parte real é a densidade de fluxo de momento [en] de Poynting.[2]
Se o campo for apenas magnético (o que é amplamente verdadeiro em motores, por exemplo), alguns dos termos desaparecem e a equação em unidades S.I. torna-se:
Para objetos cilíndricos, como o rotor de um motor, isso é ainda mais simplificado para:
onde é o cisalhamento na direção radial (para fora do cilindro) e é o cisalhamento na direção tangencial (ao redor do cilindro). É a força tangencial que gira o motor. é a densidade de fluxo na direção radial, e é a densidade de fluxo na direção tangencial.
Na eletrostática, os efeitos do magnetismo não estão presentes. Neste caso, o campo magnético desaparece, ou seja, , e obtemos o tensor de tensão de Maxwell eletrostático. Ele é dado na forma de componentes por:
e na forma simbólica por:
onde é o tensor de identidade apropriado geralmente .