Teorema da bandeira britânica

Na geometria euclidiana, o teorema da bandeira britânica afirma que, dado um ponto P escolhido dentro do retângulo ABCD, então

Figura 1.

$AP^{2}+PC^{2}=BP^{2}+DP^{2}.\,$

O teorema também se aplica aos pontos fora do retângulo, embora a prova seja mais difícil de visualizar neste caso.

Prova

Na figura 1, pelo teorema de Pitágoras, temos:

• $AP^{2}=Aw^{2}+Az^{2}\,$
• $PC^{2}=wB^{2}+zD^{2}\,$
• $BP^{2}=wB^{2}+Az^{2}\,$
• $PD^{2}=zD^{2}+Aw^{2}\,$

Portanto:

$AP^{2}+PC^{2}=Aw^{2}+Az^{2}+wB^{2}+zD^{2}=wB^{2}+Az^{2}+zD^{2}+Aw^{2}=BP^{2}+PD^{2}\,$

Nome

A bandeira do Reino Unido.

O teorema recebe este nome porque os segmentos de retas desenhados no retângulo fazem com que a figura lembre a bandeira do Reino Unido.

Referências

• Harvard-MIT «Soluções do Torneio de Matemática» (PDF) (em inglês) 
• «MathLinks» (em inglês)