Teorema da base média do triângulo

O teorema da base média do triângulo afirma que, dado um triângulo qualquer, o segmento com extremos nos pontos médios de dois lados desse triângulo é paralelo ao terceiro lado, e sua medida é igual a metade desse terceiro lado.

Demonstração

Triângulo ABC qualquer.

Demostração da base média

Dado um ${\textstyle \triangle ABC}$ qualquer, sendo M ponto médio do lado ${\textstyle {\overline {AB}}}$ e N o ponto médio do lado ${\textstyle {\overline {AC}}}$. Queremos mostrar que ${\textstyle {\overline {MN}}/\!/{\overline {BC}}}$ e ainda ${\textstyle MN={\frac {1}{2}}BC.}$

Hipótese: ${\textstyle \left\{{\begin{matrix}{\overline {AM}}\equiv {\overline {MB}}\\{\overline {AN}}\equiv {\overline {NC}}\end{matrix}}\right.\quad \quad }$ Tese:${\textstyle \left\{{\begin{matrix}{\overline {MN}}/\!/{\overline {BC}}\\MN=\left({\frac {1}{2}}\right)BC\end{matrix}}\right.}$

Traçando s paralela a ${\textstyle {\overline {AB}}}$, passando por C. Onde ${\textstyle {\overleftrightarrow {MN}}\cap s=D}$

Pelo caso lado, ângulo, ângulo oposto: ${\textstyle \triangle AMN\equiv \triangle CDN\Rightarrow \left\{{\begin{matrix}{\overline {AN}}\equiv {\overline {CN}}{\text{ (hipótese) }}\\A{\hat {N}}M\equiv C{\hat {N}}D{\text{ (oposto pelo vértice) }}\\A{\hat {M}}N\equiv C{\hat {D}}N{\text{ (alternos internos) }}\end{matrix}}\right.}$

Consequentemente temos ${\overline {CD}}\equiv {\overline {AM}}\equiv {\overline {MB}}$ e como ${\overline {CD}}/\!/{\overline {MB}}$ temos que BCDM é paralelogramo, logo ${\overline {MN}}/\!/{\overline {BC}}$. Ainda da congruência dos triângulos temos ${\overline {MN}}\equiv {\overline {ND}}$ e como ${\overline {MD}}\equiv {\overline {BC}}$, então $MN={\frac {1}{2}}BC$.