Teorema da contração

Nota: Este é um teorema para espaços métricos compactos. Se procura o teorema do ponto de fixo de Banach, consulte Teorema do ponto fixo de Banach.

O teorema da contração estabelece a existência e unicidade de pontos fixos para aplicação contrativas em espaços métricos completos compactos. É muito semelhante com o teorema do ponto fixo de Banach, porém não exige que a contração seja uniforme mas exige que o espaço seja compacto.

Definições e enunciado

Seja $\mathbb {X} \,$ um espaço métrico completo compacto e $f:\mathbb {X} \to \mathbb {X} \,$ uma aplicação.

Diz-se que $f\,$ é uma contração se:

$d(f(x),f(y))<d(x,y)~~~\forall x\neq y\in \mathbb {X} \,$

O teorema afirma que então existe um único ponto $x^{*}\,$ tal que:

$f(x^{*})=x^{*}\,$

Observe que toda contração é uma função contínua.

Demonstração da unicidade

Suponha que $f\,$ admita dois pontos fixos diferentes $x^{*}\,$ e $y^{*}\,$. Então:

$d(x^{*},y^{*})=d(f(x^{*}),f(y^{*}))<d(x^{*},y^{*})\,$, um absurdo.

Demonstração da existência

Defina a função auxiliar $h:\mathbb {X} \to \mathbb {R} \,$ como:

$h(x)={\hbox{d}}(x,f(x))\,$

Esta função é contínua, pois $f\,$ o é, logo assume um mínimo no compacto $\mathbb {X} \,$:

$\delta =\inf _{x\in \mathbb {X} }h(x)=h(x^{*})$

, para algum $x^{*}\in \mathbb {X} \,$.

Resta-nos mostrar que $x^{*}\,$ é um ponto fixo de $f\,$, o que equivale a mostrar que $\delta =0\,$.

Mas, $\delta \geq 0\,$, se acontecer a desigualdade estrita $\delta >0\,$, podemos definir $y^{*}=f(x^{*})\,$ e temos:

• $d(x^{*},y^{*})=d(x^{*},f(x^{*}))\geq \delta >0$, assim $x^{*}\neq y^{*}$

$\delta \leq h(y^{*})\,$, do fato de ser mínimo.

$\delta \leq d(y^{*},f(y^{*}))=d(f(x^{*}),f(y^{*}))<d(x^{*},y^{*})=\delta \,$, um absurdo.

E o resultado segue.

Ver também

• Teorema do ponto fixo de Banach
• Ponto fixo