Teorema de Alexandre

Em matemática, o teorema de Alexandre afirma que cada nó ou ligação pode ser representada como um sistema fechado de trança. O teorema é nomeado em honra de James Waddell Alexandre II, que publicou a sua prova, em 1923.

Trança de 5 fios $\sigma _{2}^{-1}\sigma _{4}^{-1}\sigma _{3}\sigma _{2}^{2}\sigma _{4}^{-3}\sigma _{1}^{2}\sigma _{3}$. Este é um elemento típico da trança grupo, que é utilizado na matemática campo da teoria nó.

Tranças foram inicialmente considerados como uma ferramenta da teoria do nó de Alexander. Seu teorema dá uma resposta positiva para a pergunta: É sempre possível transformar um determinado nó em um sistema fechado de trança? Um bom exemplo de construção encontra-se na página 130  do livro, "O Livro do Nó", de Adams (veja a ref. abaixo). No entanto, a correspondência entre nós e tranças é, claramente, de um-para-um: um nó pode ter muitas representações de trança. Por exemplo, tranças conjugadas produzem nós equivalente. Isto leva a uma segunda questão fundamental: quais tranças fechadas representam o mesmo tipo de nó?

Essa questão é abordada no teorema de Markov, o que dá 'movimentos' relacionando quaisquer duas tranças fechadas que representam o mesmo nó.

Referências

• «A lemma on a system of knotted curves». Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 9. Bibcode:1923PNAS....9...93A. PMC 1085274. doi:10.1073/pnas.9.3.93 
• Sossinsky, A. B. Knots: Mathematics with a Twist. [S.l.: s.n.] ISBN 9780674009448 
• Adams, Colin C. The Knot Book. [S.l.: s.n.]