O teorema em si surge primeiramente para funcionais lineares contínuos por H. Hahn em 1922, mas a demonstração clássica utiliza o teorema da categoria de Baire é devida a S. Banach e H. Steihaus em 1927. [ 1] A. Sokal apresentou uma demonstração sem fazer o uso do mesmo[ 2]
Demonstração Clássica
editar
Escreva:
B = ⋃ n = 1 ∞ B n , B n := { x ∈ X : sup α ∈ A ‖ T α ( x ) ‖ ⩽ n } {\displaystyle B=\bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n},~~B_{n}:=\{x\in X:\sup _{\alpha \in \mathrm {A} }\|T_{\alpha }(x)\|\leqslant n\}} Como
B n := ⋂ α ∈ A { x ∈ X : ‖ T α ( x ) ‖ ⩽ n } {\displaystyle B_{n}:=\bigcap _{\alpha \in \mathrm {A} }\{x\in X:\|T_{\alpha }(x)\|\leqslant n\}} e cada um dos operadores T α {\displaystyle T_{\alpha }\,} B n {\displaystyle B_{n}\,} fechado . Do fato de que X {\displaystyle X\,} X {\displaystyle X\,} teorema da categoria de Baire . Pelo menos um dos B n {\displaystyle B_{n}\,}
Da linearidade dos operadores, B n = n B 1 {\displaystyle B_{n}=nB_{1}\,} δ > 0 {\displaystyle \delta >0\,} x 0 ∈ B 1 {\displaystyle x_{0}\in B_{1}\,}
B ( x 0 , δ ) ⊆ B 1 {\displaystyle B(x_{0},\delta )\subseteq B_{1}\,} B ( x 0 , δ ) {\displaystyle B(x_{0},\delta )\,} bola de centro x 0 {\displaystyle x_{0}\,} δ {\displaystyle \delta \,} Como B 1 {\displaystyle B_{1}\,} convexo , pode-se considerar x 0 = 0 {\displaystyle x_{0}=0\,}
Escolha r > 0 {\displaystyle r>0\,} ‖ x r ‖ = δ 2 {\displaystyle \|xr\|={\frac {\delta }{2}}\,}
‖ T α ( x ) ‖ = 1 r ‖ T α ( r x ) ‖ ⩽ 1 r = 2 δ ‖ x ‖ {\displaystyle \|T_{\alpha }(x)\|={\frac {1}{r}}\|T_{\alpha }(rx)\|\leqslant {\frac {1}{r}}={\frac {2}{\delta }}\|x\|} E o resultado segue.
Demonstração sem utilizar o Teorema de Baire
editar
Primeiro, vejamos um resultado técnico:
Lema. Para qualquer operador linear T : X ⟶ Y {\displaystyle T:X\longrightarrow Y} espaços normados , qualquer x ∈ X {\displaystyle x\in X} r > 0 {\displaystyle r>0}
sup x ′ ∈ B ( x , r ) ‖ T x ′ ‖ ⩾ ‖ T ‖ ∞ r {\displaystyle \sup _{x^{\prime }\in {\mathcal {B}}(x,r)}\left\|Tx^{\prime }\right\|\geqslant \|T\|_{\infty }r}
onde B ( x , r ) = { y ∈ X : ‖ x − y ‖ < r } {\displaystyle {\mathcal {B}}(x,r)=\{y\in X:\|x-y\|<r\}} x {\displaystyle x} r {\displaystyle r}
Demonstração. De fato, para qualquer y ∈ X {\displaystyle y\in X}
‖ T ( x + y ) ‖ + ‖ T ( x − y ) ‖ 2 ⩾ ‖ T y ‖ {\displaystyle {\frac {\|T(x+y)\|+\|T(x-y)\|}{2}}\geqslant \|Ty\|}
dado que 2 T y = T ( x + y ) − T ( x − y ) {\displaystyle 2Ty=T(x+y)-T(x-y)}
Porém, max ( a , b ) ⩾ ( a + b ) / 2 {\displaystyle \max(a,b)\geqslant (a+b)/2} a , b ⩾ 0 {\displaystyle a,b\geqslant 0}
max ( ‖ T ( x + y ) ‖ , ‖ T ( x − y ) ‖ ) ⩾ ‖ T y ‖ {\displaystyle \max {\Big (}\|T(x+y)\|,\|T(x-y)\|{\Big )}\geqslant \|Ty\|}
Tomando a norma do supremo em y ∈ B ( 0 , r ) {\displaystyle y\in {\mathcal {B}}(0,r)}
‖ T ‖ ∞ r = sup z ∈ B [ 0 , 1 ] ‖ T z ‖ r = sup y ∈ B ( 0 , r ) ‖ T y ‖ ⩽ sup y ∈ B ( 0 , 1 ) max ( ‖ T ( x + y ) ‖ , ‖ T ( x − y ) ‖ ) ⩽ sup x ′ ∈ B ( x , r ) ‖ T x ′ ‖ {\displaystyle {\begin{aligned}\|T\|_{\infty }r&=\sup _{z\in {\mathcal {B}}[0,1]}\|Tz\|r\\&=\sup _{y\in {\mathcal {B}}(0,r)}\|Ty\|\\&\leqslant \sup _{y\in {\mathcal {B}}(0,1)}\max(\|T(x+y)\|,\|T(x-y)\|)\\&\leqslant \sup _{x^{\prime }\in {\mathcal {B}}(x,r)}\left\|Tx^{\prime }\right\|\end{aligned}}}
Terminando a demonstração do lema ◻ {\displaystyle \Box }
Demonstração do Teorema da Limitação Uniforme. sup α ∈ A ‖ T α ‖ ∞ = ∞ {\displaystyle \sup _{\alpha \in A}\|T_{\alpha }\|_{\infty }=\infty }
Então existe uma sequência ( T n ) n ∈ N {\displaystyle \left(T_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }} ‖ T n ‖ ∞ ⩾ 4 n {\displaystyle \left\|T_{n}\right\|_{\infty }\geqslant 4^{n}} n {\displaystyle n}
Pelo lema técnico garantido acima, existe ( x n ) n ∈ N {\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }} n {\displaystyle n}
‖ x n − x n − 1 ‖ ⩽ 1 3 n e ‖ T n x n ‖ ⩾ 2 3 n + 1 ‖ T n ‖ ∞ {\displaystyle \left\|x_{n}-x_{n-1}\right\|\leqslant {\frac {1}{3^{n}}}\quad {\text{ e }}\quad \left\|T_{n}x_{n}\right\|\geqslant {\frac {2}{3^{n+1}}}\left\|T_{n}\right\|_{\infty }}
Tal sequência é de Cauchy e por X {\displaystyle X} n 0 ∈ N {\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} } n ⩾ n 0 {\displaystyle n\geqslant n_{0}} ‖ x − x n ‖ ⩽ 3 n / 2 {\displaystyle \left\|x-x_{n}\right\|\leqslant 3^{n}/2}
Portanto,
‖ T n x ‖ ⩾ 3 − n 2 ‖ T n ‖ ∞ ⩾ 1 6 4 n 3 n {\displaystyle \left\|T_{n}x\right\|\geqslant {\frac {3^{-n}}{2}}\left\|T_{n}\right\|_{\infty }\geqslant {\frac {1}{6}}{\frac {4^{n}}{3^{n}}}}
para qualquer x ∈ X {\displaystyle x\in X} n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} }
O absurdo está em contrariar a hipótese de que sup α ∈ A ‖ T α ( x ) ‖ ∞ < ∞ {\displaystyle \sup _{\alpha \in A}\|T_{\alpha }(x)\|_{\infty }<\infty } sup α ∈ A ‖ T α ‖ ∞ = ∞ {\displaystyle \sup _{\alpha \in A}\|T_{\alpha }\|_{\infty }=\infty } ◻ {\displaystyle \Box }
Para explicitar a necessidade da hipótese de completude temos o exemplo abaixo:
Seja N {\displaystyle {\mathcal {N}}} x = ( x j ) ∈ {\displaystyle x=\left(x_{j}\right)\in } l ∞ ( N ) {\displaystyle l^{\infty }(\mathbb {N} )} x j ≠ 0 {\displaystyle x_{j}\neq 0} j {\displaystyle j} T n : N → l ∞ {\displaystyle T_{n}:{\mathcal {N}}\rightarrow l^{\infty }} T n x = ( n x j ) j ∈ N {\displaystyle T_{n}x=\left(nx_{j}\right)_{j\in \mathbb {N} }} T n ∈ L ( N , l ∞ ) {\displaystyle T_{n}\in {\mathcal {L}}\left({\mathcal {N}},l^{\infty }\right)} n {\displaystyle n} x ∈ N {\displaystyle x\in {\mathcal {N}}} lim n → ∞ T n x = 0 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }T_{n}x=0} lim n → ∞ ‖ T n ‖ = ∞ {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left\|T_{n}\right\|=\infty }
Segue aplicação do teorema para estudo da continuidade de aplicações bilineares:
Corolário. Sejam X , Y {\displaystyle X,Y} b : X × Y → R {\displaystyle b:X\times Y\rightarrow \mathbb {R} } b ( ⋅ , y ) {\displaystyle b(\cdot ,y)} b ( x , ⋅ ) {\displaystyle b(x,\cdot )} y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} x ∈ X {\displaystyle x\in {X}} b {\displaystyle b} x n → x {\displaystyle x_{n}\rightarrow x} y n → y {\displaystyle y_{n}\rightarrow y} b ( x n , y n ) → b ( x , y ) {\displaystyle b\left(x_{n},y_{n}\right)\rightarrow b(x,y)}
![{\displaystyle {\begin{aligned}\|T\|_{\infty }r&=\sup _{z\in {\mathcal {B}}[0,1]}\|Tz\|r\\&=\sup _{y\in {\mathcal {B}}(0,r)}\|Ty\|\\&\leqslant \sup _{y\in {\mathcal {B}}(0,1)}\max(\|T(x+y)\|,\|T(x-y)\|)\\&\leqslant \sup _{x^{\prime }\in {\mathcal {B}}(x,r)}\left\|Tx^{\prime }\right\|\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80ec6e80f7177c8ac0ac70b049f9134cc89933e2)
