Teorema de Isserlis
Na teoria da probabilidade, o teorema de Isserlis ou o teorema da probabilidade de Wick[1] é uma fórmula que permite calcular momentos de ordem superior da distribuição normal multivariada em termos de sua matriz de covariância.[2][3] É nomeado em homenagem a Leon Isserlis.[4] Esse teorema é particularmente importante na física de partículas, onde é conhecido como teorema de Wick por conta do trabalho de Wick em 1950.[5] Outras aplicações incluem a análise de retornos de portfólio,[6] teoria quântica de campos[7] e geração de ruído colorido.[8]
Declaração editar
Se é um vetor aleatório normal multivariado com média de zero e, em seguida,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {E} [\,X_{1}X_{2}\cdots X_{2n}\,]=\sum \prod \operatorname {E} [\,X_{i}X_{j}\,]=\sum \prod \operatorname {Cov} (\,X_{i},X_{j}\,),\\&\operatorname {E} [\,X_{1}X_{2}\cdots X_{2n-1}\,]=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06b34967375738ea3a44458aa89c15ce06c162f4)
onde a notação ∑ ∏ significa somar todas as formas distintas de particionamento X1, …, X2n em pares Xi,Xj e cada soma é o produto dos n pares.[9] Isso gera termos na soma (ver fatorial duplo). Por exemplo, para momentos de quarta ordem (quatro variáveis), existem três termos. Para momentos de sexta ordem, existem 3 × 5 = 15 termos, e para momentos de oitava ordem, há 3 × 5 × 7 = 105 termos (como se pode verificar nos exemplos abaixo).
Em seu artigo original,[10] Leon Isserlis prova esse teorema por indução matemática, generalizando a fórmula para os momentos de quarta ordem,[11] que leva a aparência
![{\displaystyle \operatorname {E} [\,X_{1}X_{2}X_{3}X_{4}\,]=\operatorname {E} [X_{1}X_{2}]\,\operatorname {E} [X_{3}X_{4}]+\operatorname {E} [X_{1}X_{3}]\,\operatorname {E} [X_{2}X_{4}]+\operatorname {E} [X_{1}X_{4}]\,\operatorname {E} [X_{2}X_{3}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeff75ca116e072ad6bf5879c2e362f1ab11c99b)
Para momentos de sexta ordem, o teorema de Isserlis é:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {E} [X_{1}X_{2}X_{3}X_{4}X_{5}X_{6}]\\[5pt]={}&\operatorname {E} [X_{1}X_{2}]\operatorname {E} [X_{3}X_{4}]\operatorname {E} [X_{5}X_{6}]+\operatorname {E} [X_{1}X_{2}]\operatorname {E} [X_{3}X_{5}]\operatorname {E} [X_{4}X_{6}]+\operatorname {E} [X_{1}X_{2}]\operatorname {E} [X_{3}X_{6}]\operatorname {E} [X_{4}X_{5}]\\[5pt]&{}+\operatorname {E} [X_{1}X_{3}]\operatorname {E} [X_{2}X_{4}]\operatorname {E} [X_{5}X_{6}]+\operatorname {E} [X_{1}X_{3}]\operatorname {E} [X_{2}X_{5}]\operatorname {E} [X_{4}X_{6}]+\operatorname {E} [X_{1}X_{3}]\operatorname {E} [X_{2}X_{6}]\operatorname {E} [X_{4}X_{5}]\\[5pt]&{}+\operatorname {E} [X_{1}X_{4}]\operatorname {E} [X_{2}X_{3}]\operatorname {E} [X_{5}X_{6}]+\operatorname {E} [X_{1}X_{4}]\operatorname {E} [X_{2}X_{5}]\operatorname {E} [X_{3}X_{6}]+\operatorname {E} [X_{1}X_{4}]\operatorname {E} [X_{2}X_{6}]\operatorname {E} [X_{3}X_{5}]\\[5pt]&{}+\operatorname {E} [X_{1}X_{5}]\operatorname {E} [X_{2}X_{3}]\operatorname {E} [X_{4}X_{6}]+\operatorname {E} [X_{1}X_{5}]\operatorname {E} [X_{2}X_{4}]\operatorname {E} [X_{3}X_{6}]+\operatorname {E} [X_{1}X_{5}]\operatorname {E} [X_{2}X_{6}]\operatorname {E} [X_{3}X_{4}]\\[5pt]&{}+\operatorname {E} [X_{1}X_{6}]\operatorname {E} [X_{2}X_{3}]\operatorname {E} [X_{4}X_{5}]+\operatorname {E} [X_{1}X_{6}]\operatorname {E} [X_{2}X_{4}]\operatorname {E} [X_{3}X_{5}]+\operatorname {E} [X_{1}X_{6}]\operatorname {E} [X_{2}X_{5}]\operatorname {E} [X_{3}X_{4}].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d1fccafe517ed0f0e5f422bf75be2f75921cb19)
Referências
- ↑ ALCALA, MAYRA PATRICIA (2015). «DESCOMPOSICION DE PERTURBACIONES EN REDES BOOLEANAS CON UMBRALES» (PDF)
- ↑ Vignat, C. (12 de julho de 2011). «A generalized Isserlis theorem for location mixtures of Gaussian random vectors». arXiv:1107.2309 [math]
- ↑ «probability theory - Necessary conditions for Wick-Isserlis theorem». Mathematics Stack Exchange. Consultado em 30 de outubro de 2019
- ↑ Hull, John C. (13 de março de 2018). Risk Management and Financial Institutions (em inglês). [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 9781119448167
- ↑ Wick, G.C. (1950). «The evaluation of the collision matrix». Physical Review. 80 (2): 268–272. Bibcode:1950PhRv...80..268W. doi:10.1103/PhysRev.80.268
- ↑ Repetowicz, Przemysław; Richmond, Peter (2005). «Statistical inference of multivariate distribution parameters for non-Gaussian distributed time series» (PDF). Acta Physica Polonica B. 36 (9): 2785–2796
- ↑ Perez-Martin, S.; Robledo, L.M. (2007). «Generalized Wick's theorem for multiquasiparticle overlaps as a limit of Gaudin's theorem». Physical Review C. 76 (6). 064314 páginas. Bibcode:2007PhRvC..76f4314P. arXiv:0707.3365
. doi:10.1103/PhysRevC.76.064314
- ↑ Bartosch, L. (2001). «Generation of colored noise». International Journal of Modern Physics C. 12 (6): 851–855. Bibcode:2001IJMPC..12..851B. doi:10.1142/S0129183101002012
- ↑ Michalowicz, J.V.; Nichols, J.M.; Bucholtz, F.; Olson, C.C. (2009). «An Isserlis' theorem for mixed Gaussian variables: application to the auto-bispectral density». Journal of Statistical Physics. 136 (1): 89–102. Bibcode:2009JSP...136...89M. doi:10.1007/s10955-009-9768-3
- ↑ Isserlis, L. (1918). «On a formula for the product-moment coefficient of any order of a normal frequency distribution in any number of variables» (PDF). Biometrika. 12 (1–2): 134–139. JSTOR 2331932. doi:10.1093/biomet/12.1-2.134
- ↑ Isserlis, L. (1916). «On Certain Probable Errors and Correlation Coefficients of Multiple Frequency Distributions with Skew Regression». Biometrika. 11 (3): 185–190. JSTOR 2331846. doi:10.1093/biomet/11.3.185
