Teorema de Lindemann–Weierstrass

O teorema de Lindemann–Weierstrass é um resultado útil para estabelecer a transcendência de um número. Afirma que se α₁, α₂, ...,α_n são números algébricos linearmente independentes sobre o corpo dos números racionais $\mathbb {Q}$, então $e^{\alpha _{1}},e^{\alpha _{2}}\ldots ,e^{\alpha _{n}}$ são algebricamente independentes sobre $\mathbb {Q}$; ou seja, o grau de transcendência da extensão do corpo $\mathbb {Q} (e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}})$ sobre $\mathbb {Q}$ é n.

Ferdinand von Lindemann demonstrou em 1882 que e^α é transcendente para todo α algébrico não nulo, estabelecendo desta forma que π é transcendente. Karl Weierstrass demonstrou a forma mais geral deste teorema em 1885.

Este teorema, juntamente com o teorema de Gelfond-Schneider, está generalizado como a conjectura de Schanuel.

Transcendência de e e π

A transcendência de e e π é obtida como corolários deste teorema.

Suponhamos que α seja um número algébrico não nulo; então {α} é um conjunto linearmente independente sobre os racionais, e portanto {e^α} é um conjunto algebricamente independente; em outras palavras, e^α é transcendente. Em particular, e¹ = e é transcendente.

Provemos agora que π é transcendente. Se π fosse algébrico, 2πi também o seria (porque 2i é algébrico), e portanto, segundo o teorema de Lindemann-Weierstrass e^2πi = 1 é transcendente. Porém sabemos que 1 é racional e portanto π é necessariamente transcendente.

Bibliografia

• Alan Baker, Transcendental Number Theory, Cambridge University Press, 1975, ISBN 0-521-39791-X. Chapter 1, Theorem 1.4.
• F. Lindemann, Über die Zahl π, Mathematische Annalen, vol. 20 (1882), pp. 213–225.

Ver também

• Prova de irracionalidade do número de Euler

Ligações externas

• «Demonstração do teorema de Lindemann-Weierstrass» (em inglês)