Demonstração da versão real
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A versão real deste teorema admite uma demonstração construtiva simples usando os polinômios de Bernstein .
Seja
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbf {R} }
uma função contínua. Então para todo
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
, existe um polinômio
P
(
x
)
{\displaystyle P(x)}
tal que:
‖
P
(
x
)
−
f
(
x
)
‖
L
∞
[
a
,
b
]
≤
ε
{\displaystyle \|P(x)-f(x)\|_{L^{\infty }[a,b]}\leq \varepsilon }
, ou seja:
|
P
(
x
)
−
f
(
x
)
|
≤
ε
,
∀
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle |P(x)-f(x)|\leq \varepsilon ,\forall x\in [a,b]}
.
Dem.: Sem perda de generalidade, podemos supor
a
=
0
{\displaystyle a=0}
e
b
=
1
{\displaystyle b=1}
.
Primeiramente, estabeleçamos uma estimativa:
∑
i
=
0
n
(
x
−
i
/
n
)
2
B
i
n
=
x
2
∑
i
=
0
n
B
i
n
−
2
x
∑
i
=
0
n
i
/
n
B
i
n
+
∑
i
=
0
n
(
i
/
n
)
2
B
i
n
=
x
2
−
2
x
2
+
(
n
−
1
)
n
x
2
+
x
n
=
x
−
x
2
n
≤
1
4
n
,
x
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\sum _{i=0}^{n}\left(x-i/n\right)^{2}B_{i}^{n}&=&x^{2}\sum _{i=0}^{n}B_{i}^{n}-2x\sum _{i=0}^{n}i/nB_{i}^{n}+\sum _{i=0}^{n}(i/n)^{2}B_{i}^{n}\\&=&x^{2}-2x^{2}+{\frac {(n-1)}{n}}x^{2}+{\frac {x}{n}}={\frac {x-x^{2}}{n}}\leq {\frac {1}{4n}},~x\in [0,1]\end{array}}}
(Veja polinómios de Bernstein )
Como
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
é uma função contínua em um compacto,
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
é também uniformemente contínua. Logo existe
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
tal que
|
f
(
x
)
−
f
(
y
)
|
<
ε
/
2
{\displaystyle |f(x)-f(y)|<\varepsilon /2}
sempre que
|
x
−
y
|
<
δ
{\displaystyle |x-y|<\delta }
e
0
≤
x
,
y
≤
1
{\displaystyle 0\leq x,y\leq 1}
e ainda existe uma constante
M
{\displaystyle M}
tal que
|
f
(
x
)
|
≤
M
{\displaystyle |f(x)|\leq M}
.
Agora, defina:
P
n
(
x
)
=
∑
i
=
0
n
f
(
i
n
)
B
i
n
(
x
)
{\displaystyle P_{n}(x)=\sum _{i=0}^{n}f\left({\frac {i}{n}}\right)B_{i}^{n}(x)}
Como
∑
i
=
0
n
B
i
n
(
x
)
=
1
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}B_{i}^{n}(x)=1}
, vale que
f
(
x
)
=
∑
i
=
0
n
f
(
x
)
B
i
n
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{n}f(x)B_{i}^{n}(x)}
e vale a estimativa:
|
f
(
x
)
−
P
n
(
x
)
|
≤
∑
i
=
0
n
|
f
(
x
)
−
f
(
i
n
)
|
B
i
n
(
x
)
=
∑
S
1
|
f
(
x
)
−
f
(
i
n
)
|
B
i
n
(
x
)
+
∑
S
2
|
f
(
x
)
−
f
(
i
n
)
|
B
i
n
(
x
)
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}|f(x)-P_{n}(x)|&\leq &\displaystyle \sum _{i=0}^{n}\left|f(x)-f\left({\frac {i}{n}}\right)\right|B_{i}^{n}(x)\\&=&\displaystyle \sum _{S_{1}}\left|f(x)-f\left({\frac {i}{n}}\right)\right|B_{i}^{n}(x)+\displaystyle \sum _{S_{2}}\left|f(x)-f\left({\frac {i}{n}}\right)\right|B_{i}^{n}(x)\end{array}}}
onde
S
1
=
{
0
≤
i
≤
n
:
|
x
−
i
/
n
|
<
δ
}
{\displaystyle S_{1}=\{0\leq i\leq n:|x-i/n|<\delta \}}
e
S
2
=
{
0
≤
i
≤
n
:
|
x
−
i
/
n
|
≥
δ
}
{\displaystyle S_{2}=\{0\leq i\leq n:|x-i/n|\geq \delta \}}
.
∑
S
1
|
f
(
x
)
−
f
(
i
n
)
|
B
i
n
(
x
)
≤
∑
S
1
ε
/
2
B
i
n
(
x
)
≤
ε
/
2
∑
i
=
1
n
B
i
n
(
x
)
=
ε
/
2
{\displaystyle \sum _{S_{1}}\left|f(x)-f\left({\frac {i}{n}}\right)\right|B_{i}^{n}(x)\leq \sum _{S_{1}}\varepsilon /2B_{i}^{n}(x)\leq \varepsilon /2\sum _{i=1}^{n}B_{i}^{n}(x)=\varepsilon /2}
∑
S
2
|
f
(
x
)
−
f
(
i
n
)
|
B
i
n
(
x
)
≤
2
M
∑
S
2
B
i
n
(
x
)
≤
2
M
∑
S
2
(
x
−
i
/
n
)
2
δ
2
B
i
n
(
x
)
≤
2
M
δ
2
∑
i
=
0
n
(
x
−
i
/
n
)
2
B
i
n
(
x
)
≤
M
2
δ
2
n
<
ϵ
/
2
,
se
n
>
M
/
ε
δ
2
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle \sum _{S_{2}}\left|f(x)-f\left({\frac {i}{n}}\right)\right|B_{i}^{n}(x)&\leq &2M\displaystyle \sum _{S_{2}}B_{i}^{n}(x)\leq 2M\displaystyle \sum _{S_{2}}{\frac {(x-i/n)^{2}}{\delta ^{2}}}B_{i}^{n}(x)\\&\leq &{\frac {2M}{\delta ^{2}}}\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(x-i/n)^{2}B_{i}^{n}(x)\leq {\frac {M}{2\delta ^{2}n}}<\epsilon /2,{\hbox{ se }}n>M/\varepsilon \delta ^{2}\end{array}}}
E o resultado segue, escolhendo
n
>
M
/
ε
δ
2
{\displaystyle n>M/\varepsilon \delta ^{2}}
e
P
(
x
)
:=
P
n
(
x
)
{\displaystyle P(x):=P_{n}(x)}
.