Teorema do encaixe de intervalos
Em matemática, o teorema do encaixe de intervalos afirma que qualquer sucessão decrescente de intervalos de números reais tem, pelo menos, um ponto em comum.
Enunciado formal editar
Para cada n ∈ N, seja [an,bn] um intervalo de números reais e suponha-se que a sucessão ([an,bn])n ∈ N é decrescente, ou seja
![{\displaystyle [a_{1},b_{1}]\supset [a_{2},b_{2}]\supset [a_{3},b_{3}]\supset \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b39d354449e1575369c2be0a0d2032e56f9fc116)
Então existe algum número c que pertence a todos os intervalos [an,bn], o que é o mesmo que dizer que
![{\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb {N} }[a_{n},b_{n}]\neq \emptyset .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a8912b32ac59d3ed744302cca172e20e24c8573)
Demonstração editar
Como a sucessão (an)n ∈ N é crescente e é majorada (por todos os bn), converge para algum número a e, analogamente, a sucessão (bn)n ∈ N converge para algum b. Como qualquer an é menor ou igual que qualquer bn, tem-se a ≤ b. Por outro lado, é claro que, se x ∈ R, então
e
o que é o mesmo que dizer que:
![{\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb {N} }[a_{n},b_{n}]=[a,b]\neq \emptyset .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cb7952cfbdfbde414398b71e6ab0ce8b2a12ab1)
Generalizações editar
- Seja {[ai,bi] | i ∈ I} um conjunto de intervalos fechados de um intervalo [a,b] e suponha-se que qualquer qualquer parte finita daquele conjunto tem intersecção não vazia. Então
![{\displaystyle \bigcap _{i\in I}[a_{i},b_{i}]\neq \emptyset .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c107b3de66e2f1b78c1556e57292aced4a1467a2)
- Uma sucessão decrescente (Kn)n ∈ N de partes fechadas, limitadas e não vazias de Rn tem intersecção não vazia.
