Traço parcial

Em álgebra linear e análise funcional o traço parcial é uma generalização do traço, onde o traço é uma grandeza escalar e o traço parcial é um operador funcional.

Definição

Suponha que V e W são espaços vetoriais de dimensões finitas sobre um corpo, com m e n dimensões, respectivamente. Para qualquer espaço A assuma que $L(A)$ indique o espaço dos operadores lineares em A. O traço parcial sobre W, $Tr_{W}$, é um mapeamento de

$T\in \operatorname {L} (V\otimes W)\mapsto \operatorname {Tr} _{W}(T)\in \operatorname {L} (V)$

isto é definido da seguinte forma: suponha que

$e_{1},\ldots ,e_{m}$

e

$f_{1},\ldots ,f_{n}$

sejam as bases para V e W respectivamente; então T possui uma matriz de representação

$\{a_{k\ell ,ij}\}\quad 1\leq k,i\leq m,\quad 1\leq \ell ,j\leq n$

relativa à base

$e_{k}\otimes f_{\ell }$

de

$V\otimes W$.

agora para os índices k e i no alcance $1,\ldots ,m$, considere a soma

$b_{k,i}=\sum _{j=1}^{n}a_{kj,ij}.$

Isto nos fornece a matriz $b_{k,i}$. O operador de associação linear em V é independente da escolha das bases e é por definição o traço parcial.

Definição invariante

O operador do traço parcial pode ser definido de forma invariante (ou seja, sem dependente de uma base) como segue: isto é o operador linear único

$\operatorname {Tr} _{W}:\operatorname {L} (V\otimes W)\rightarrow \operatorname {L} (V)$

de forma que

$\operatorname {Tr} _{W}(R\otimes S)=R\,\operatorname {Tr} (S)\quad \forall R\in \operatorname {L} (V)\quad \forall S\in \operatorname {L} (W).$

Desta definição abstrata, obtém-se as seguintes propriedades:

$\operatorname {Tr} _{W}(I_{V\otimes W})=\dim W\ I_{V}$

$\operatorname {Tr} _{W}(T(I_{V}\otimes S))=\operatorname {Tr} _{W}((I_{V}\otimes S)T)\quad \forall S\in \operatorname {L} (W)\quad \forall T\in \operatorname {L} (V\otimes W).$

Traços parciais para operadores no espaço de Hilbert

O traço parcial generaliza para operadores no espaço de Hilbert com infinitas dimensões. Suponha que V e W sejam espaços de Hilbert, e que

$\{f_{i}\}_{i\in I}$

seja uma base ortogonal para W. Então existe um isomorfismo isométrico

$\bigoplus _{\ell \in I}(V\otimes \mathbb {C} f_{\ell })\rightarrow V\otimes W$

Sob esta decomposição, qualquer operador $T\in \operatorname {L} (V\otimes W)$ pode ser considerado como uma matriz infinita de operadores em V

${\begin{bmatrix}T_{11}&T_{12}&\ldots &T_{1j}&\ldots \\T_{21}&T_{22}&\ldots &T_{2j}&\ldots \\\vdots &\vdots &&\vdots \\T_{k1}&T_{k2}&\ldots &T_{kj}&\ldots \\\vdots &\vdots &&\vdots \end{bmatrix}},$

onde $T_{k\ell }\in \operatorname {(} V)$.

Agora suponha que T seja um operador não negativo. Neste caso, todas as diagonais da matriz são operadores não negativos em V. Se a soma

$\sum _{\ell }T_{\ell \ell }$

converge na topologia de operador forte de $L(V)$, isto é independente da base escolhida de W. O traço parcial $Tr_{W}(T)$ é definido como sendo seu operador. O traço parcial do operador autoadjunto é definido se e somente se o traço parcial das partes positivas e negativas são definidas.

Traço parcial e integral invariante

No caso de espaços de Hilbert com finitas dimensões, existe uma forma útil de buscar o traço parcial e envolve integral no que diz respeito a uma medida de Haar devidamente normalizada μ sobre o grupo unitário $U(W)$ de W.

Teorema

Suponha que V e W sejam espaços de Hilbert com finitas dimensões. Então

$\int _{\operatorname {U} (W)}(I_{V}\otimes U^{*})T(I_{V}\otimes U)\ d\mu (U)$

comuta com todos os operadores da forma $I_{V}\otimes S$ e daqui é de forma unicamente $R\otimes I_{W}$. O operador R é o traço parcial de T.

Traço parcial como uma operação quântica

O traço parcial pode ser visto como uma operação quântica. Considere um sistema na mecânica quântica em que o estado do espaço é o produto do tensor $H_{A}\otimes H_{B}$ dos espaços de Hilbert. Um estado misto é descrito por uma matriz densidade ρ, que é um operador de classe tracial não negativa de traço 1 no produto do tensor $H_{A}\otimes H_{B}.$ O traço parcial de ρ com respeito ao sistema B, indicado por $\rho ^{A}$, é chamado de estado reduzido de ρ no sistema A

$\rho ^{A}=\operatorname {Tr} _{B}\rho .$

Para demonstrar que isto é de fato uma forma razoável para atribuir um estado ρ em um subsistema A, suponha que M seja um observável no subsistema A, então o observável correspondente no sistema composto é $M\otimes I$. Entretanto se escolhermos para definir um estado reduzido $\rho ^{A}$, deve existir uma medição estatística consistente. O valor esperado de M após o subsistema A é preparado em $\rho ^{A}$ e $M\otimes I$ quando o sistema composto é preparado em ρ deve ser identico, isto é

$\operatorname {Tr} (M\cdot \rho ^{A})=\operatorname {Tr} (M\otimes I\cdot \rho ).$

Vemos que isto é satisfeito se $\rho ^{A}$ é definido como acima através de traços parciais.

Suponha que $T(H)$ seja o espaço de Banach de operadores de classe tracial no espaço de Hilbert H. Isto pode ser verificado que o traço pacial, visto como um mapeamento

$\operatorname {Tr} _{B}:T(H_{A}\otimes H_{B})\rightarrow T(H_{A})$

é sempre positivo e preservador do traço.

O mapeamento do traço parcial como dado acima induz a um duplo mapeamento $\operatorname {Tr} _{B}^{*}$ entre os operadores limitados da C*-álgebra em $\;H_{A}$ e $H_{A}\otimes H_{B}$ dado por

$\operatorname {Tr} _{B}^{*}(A)=A\otimes I.$

$\operatorname {Tr} _{B}^{*}$ mapeia observáveis para observáveis e é a representação de Heisenberg de $\operatorname {Tr} _{B}$.

Comparação com a mecânica clássica

Suponha que ao invés de sistemas na mecânica quântica, os dois sistemas A e B são sistemas na mecânica clássica. O espaço dos observáveis para cada sistema são, então, C*-álgebras abelianas. Então são da forma $C(X)$ e $C(Y)$ respectivamente para espaços compactos X e Y. Estes estados de sistemas compostos são

$C(X)\otimes C(Y)=C(X\times Y).$

Um estado num sistema composto é um elemento positivo ρ da dupla de $C(X\times Y)$, que segundo teorema da representação de Riesz corresponde a uma medição regular de Borel em $X\times Y$. Então o traço parcial é o equivalente da mecânica quântica desta operação.

Ligações externas

• «Álgebra Linear - Operador Densidade»