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Na matemática, o investigador Sophus Lie (/ liː / LEE) iniciou linhas de estudos envolvendo integração de equações diferenciais, grupos de transformação e contato de esferas que passaram a ser chamadas de Teoria de Lie. Por exemplo, o último assunto é geometria da esfera de Lie. Este artigo aborda os grupos de transformação, que é uma das áreas da matemática, e foi desenvolvido por Wilhelm Killing e Élie Cartan. 

O fundamento da Teoria de Lie é o mapa exponencial que relaciona as álgebras de Lie com os grupos de Lie, que é chamado de correspondência de grupo de Lie-álgebra. O assunto é parte da geometria diferencial, uma vez que os grupos de Lie são coletores diferenciáveis. Os grupos de Lie evoluem para fora da identidade (1) e os vetores tangentes para subgrupos de um parâmetro geram a álgebra de Lie. A estrutura de um grupo de Lie está implícita em sua álgebra e a estrutra da Álgebra de Lie é expressa por sistemas de raiz e dados raiz. 

A teoria de Lie tem sido particularmente útil na física matemática, uma vez que descreve importantes grupos físicos como o grupo galileu, o grupo Lorentz e o grupo Poincaré.

Teoria elementar de Lie

Os grupos de um parâmetro são a primeira instância da teoria de Lie. O caso compacto surge através da fórmula de Euler no plano complexo. Outros grupos de um parâmetro ocorrem no plano do número complexo-dividido como a hiperbola da unidade 

$\lbrace \exp(jt)=\cosh(t)+j\sinh(t):t\in R\rbrace ,$

E no plano do número duplo como a linha ${\displaystyle }$Nesses casos, os parâmetros da álgebra de Lie têm nomes: ângulo, ângulo hiperbólico , E declive. Usando o "ângulo" apropriado e um vetor radial, qualquer um desses planos pode receber uma decomposição polar. Qualquer uma dessas decomposições, ou renderizações de álgebra de Lie, pode ser necessária para renderizar a subalgebra de Lie de uma matriz real de 2 × 2.

Existe um grupo de Lie e par álgebra clássico de três parâmetros: os quaternões de comprimento da unidade que podem ser identificados com a esfera 3. A álgebra de Lie é o subespaço dos vetores de quaternion. Uma vez que o comutador ij − ji = 2k, o suporte de Lie nesta álgebra é o dobro do produto cruzado da análise de vetores comuns.

Outro exemplo elementar de 3 parâmetros é dado pelo grupo Heisenberg e sua álgebra de Lie. Os tratamentos padrão da teoria da mentira geralmente começam com os grupos clássicos.

História e Escopo

As expressões iniciais da Teoria de Lie são encontradas em livros compostos por Sophus Lie com Friedrich Engel e Georg Scheffers de 1888 a 1896.

Nos primeiros trabalhos de Lie, a idéia era construir uma teoria de grupos contínuos, para complementar a teoria dos grupos discretos que se desenvolveram na teoria das formas modulares, nas mãos de Felix Klein e Henri Poincaré. A aplicação inicial que Lie tinha em mente era a teoria das equações diferenciais. No modelo da teoria de Galois e das equações polinomiais, a concepção motriz era de uma teoria capaz de unificar, pelo estudo da simetria, toda a área das equações diferenciais ordinárias.

De acordo com o historiador Thomas W. Hawkins, foi Élie Cartan que fez da teoria da mentira o que é: Enquanto Lie tinha muitas idéias férteis, Cartan era o principal responsável pelas extensões e aplicações de sua teoria que o tornaram um componente básico da matemática moderna. Foi ele quem, com alguma ajuda da Weyl, desenvolveu as idéias seminal, essencialmente algébricas de Matar na teoria da estrutura e representação de álgebras semeimples de Lie que desempenha um papel tão fundamental na atual teoria da Lie. E, embora Lie considerasse as aplicações de sua teoria à geometria, foi Cartan quem realmente as criou, por exemplo através de suas teorias de espaços simétricos e generalizados, incluindo todos os aparelhos auxiliares (molduras móveis, formas diferenciais externas, etc.)

Aspectos da Teoria de Lie

A teoria de Lie é freqüentemente construída com base em um estudo dos grupos algebraicos lineares clássicos. Os ramos especiais incluem grupos Weyl, grupos Coxeter e edifícios. O assunto clássico foi estendido para Grupos de tipo Lie.

Em 1900, David Hilbert desafiou os teóricos da mentira com o Quinto Problema apresentado no Congresso Internacional de Matemáticos em Paris.

Veja também

• Lista de tópicos de grupo de Lie
• Integrador de grupo de Lie

Further reading

• M.A. Akivis & B.A. Rosenfeld (1993) Élie Cartan (1869–1951), translated from Russian original by V.V. Goldberg, chapter 2: Lie groups and Lie algebras, American Mathematical Society ISBN 0-8218-4587-X0-8218-4587-X .
• P. M. Cohn (1957) Lie Groups, Cambridge Tracts in Mathematical Physics.
  • Nijenhuis, Albert (1959). «Review: Lie groups, by P. M. Cohn». Bulletin of the American Mathematical Society. 65 (6): 338–341. doi:10.1090/s0002-9904-1959-10358-x 
• J. L. Coolidge (1940) A History of Geometrical Methods, pp 304–17, Oxford University Press (Dover Publications 2003).
• Robert Gilmore (2008) Lie groups, physics, and geometry: an introduction for physicists, engineers and chemists, Cambridge University Press ISBN 97805218840069780521884006 .
• F. Reese Harvey (1990) Spinors and calibrations, Academic Press, ISBN 0-12-329650-10-12-329650-1 .
• Hawkins, Thomas (2000). Emergence of the Theory of Lie Groups: an essay in the history of mathematics, 1869–1926. [S.l.]: Springer. ISBN 0-387-98963-3 
• Sattinger, David H.; Weaver, O. L. (1986). Lie groups and algebras with applications to physics, geometry, and mechanics. [S.l.]: Springer-Verlag. ISBN 3-540-96240-9 
• Stillwell, John (2008). Naive Lie Theory. [S.l.]: Springer. ISBN 0-387-98289-2 
• Heldermann Verlag Journal of Lie Theory

Links externos

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