Usuário(a):Cesar Pagan/teste

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No cálculo vectorial o gradiente é a alteração no valor de uma quantidade por unidade de espaço.

Por exemplo, o gradiente do potencial eléctrico é o campo eléctrico. O gradiente da energia de campo é a força de campo.

Definição

Dois exemplos de gradiente. Em cada caso o valor da função é indicado pela escala de cinzas.

O vector gradiente ou simplesmente gradiente de uma campo escalar $f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})$ é dado por:

${\mbox{grad}}\,f=\left\langle {\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}},\cdots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right\rangle$

Em notação de soma de Euler temos que:

${\mbox{grad}}\,f=\sum ^{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}{\hat {e}}_{i}$

Já na notação de soma de Einstein para o campo escalar φ:

${\mbox{grad}}\,\varphi =\partial _{i}\varphi \cdot {\hat {e}}_{i}$

O símbolo nabla foi introduzido por William Hamilton e rapidamente assimilado pela comunidade científica:

$\nabla f={\mbox{grad}}\,f$

O gradiente também pode ser generalizado em ordem – se fornecemos um campo vectorial obtemos um campo tensorial.

Exemplo

Para a função $f\!\left(x,y,z\right)=3x+5y^{2}-\sin z$ temos $\nabla f=\left\langle 3,10y,-\cos z\right\rangle$ para todo $\left(x,y,z\right)$.

Expressões

Para todo campo escalar $f$ diferenciável em função do espaço cartesiano ${\vec {x}}=\left\langle x,y,z\right\rangle$ temos que:

$\nabla f=\left\langle {\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\right\rangle$

O gradiente é a derivada de um campo em função do espaço:

$\nabla f={\frac {\partial f}{\partial {\vec {x}}}}$

Em uma só dimensão o gradiente de uma função que só depende do espaço:

$\nabla f={\frac {df}{dx}}$

Propriedades

Linearidade

O gradiente é linear:

$\nabla \left(\alpha f+\beta g\right)=\alpha \nabla f+\beta \nabla g\qquad \left(\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {F} ^{2}\right)$

Onde $\mathbb {F}$ é um corpo constante.

Lei de Leibniz

O gradiente segue a Lei de Leibniz na multiplicação:

$\nabla \left(f\cdot g\right)=f\nabla g+g\nabla f$

E na divisão:

$\nabla \left(f/g\right)={\frac {g\nabla f-f\nabla g}{g^{2}}}\qquad \left(g\neq 0\right)$

Ortogonalidade às curvas de nível

O vector gradiente sempre será ortogonal às curvas de nível (veja no artigo "Conjunto de nível"). Seja $f(x\,,y)$ uma função definida em $D\subset \mathbb {R} ^{2}$ e diferenciável em todo seu domínio.

Seja o conjunto $C:\{(x,y)\in D|f(x,y)=k\}$ onde x e y são funções de um parâmetro t tal que $x(0)=x_{0}\,,y(0)=y_{0}$.

Então, temos:

$f(x(t)\,,y(t))=k$ (diferenciando com relação a t pela regra da cadeia)

${\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{dt}}=0$

A equação final pode ser interpretada como o produto escalar do gradiente de f por um vector tangente a f em $(x_{0}\,,y_{0})$, logo os dois são perpendiculares entre si.

Teorema do gradiente

O gradiente é revertido pelo integral de linha de acordo com o teorema do gradiente, que é análogo ao teorema fundamental do cálculo:

$\Delta f=f_{Q}-f_{P}=\int _{\gamma _{P}}^{\gamma _{Q}}\nabla f\cdot {\vec {d\gamma }}$

Derivada direcional

A derivada direcional é um escalar que representa a derivada dum campo escalar ao longo de um vector (no caso abaixo, ${\vec {u}}$).

$\forall {\vec {u}}\quad \nabla \!_{\vec {u}}\,f={\vec {u}}\cdot \nabla f$

Sistemas de coordenadas

O gradiente é escrito nos diferentes sistemas de coordenadas tridimensionais nas seguintes formas:

Coordenadas cartesianas

$\nabla \,f={\frac {\partial f}{\partial x}}{\hat {e}}_{x}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\hat {e}}_{y}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\hat {e}}_{z}$

Para coordenadas espaciais x, y e z.

Coordenadas cilíndricas circulares

$\nabla \,f={\frac {\partial f}{\partial \rho }}{\hat {e}}_{\rho }+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}{\hat {e}}_{\phi }+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\hat {e}}_{z}$

Onde $\rho$ representa a distância ao eixo z, $\phi$ é o ângulo (tomado, em geral sobre o plano z=0 em relação ao eixo x) e z.

Coordenadas esféricas

$\nabla \,f={\frac {\partial f}{\partial r}}{\hat {e}}_{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}{\hat {e}}_{\theta }+{\frac {1}{rsen\theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}{\hat {e}}_{\phi }$

Onde $r$ representa a distância à origem, $\theta$ é o ângulo entre a reta que liga o ponto à origem e o eixo z e $\phi$ é o ângulo formado pela projeção da reta que liga o ponto à origem no plano z=0 e o eixo x.

Gradientes de tensão

Os gradientes de tensão em redes elétricas são, depois dos transientes, os maiores causadores de danos em circuitos eletro-eletrônicos.

O retorno da energia elétrica numa linha de transmissão longa, após uma interrupção da mesma, faz-se acompanhar por transientes de tensão elevada até à estabilização do circuito. Simultaneamente, manifesta-se na rede um movimento oscilatório de baixa freqüência, composto por gradientes positivos e negativos, denominados harmônicos, que fazem elevar e reduzir a tensão, acima e abaixo do seu valor nominal.

Referências

• Cálculo, George B. Thomas, (Décima Edição), Volume 2; Addison Wesley/Pearson Education do Brasil, São Paulo, (2002).

Ver também

• Teorema do gradiente
• Divergente
• Rotacional
• Degradê (Arte)
• Laplaciano