Nota: Para o termo utilizado na gramática, veja Combinação (gramática).

Uma combinação sem repetição, em análise combinatória, é um subconjunto com elementos em um conjunto com elementos. Como é um conjunto, não há repetição de membros dentro do conjunto.

Demonstração da combinação

Por outras palavras combinação sem repetição é o número de grupos que se pode formar com s dos n objectos todos diferentes, diferindo uns dos outros pela natureza dos seus elementos.

O número de subconjuntos de elementos diferentes de um conjunto de elementos diferentes pode ser representado por: ou

Exemplos

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  •   indica de quantas formas distintas é possível escolher 2 elementos de um grupo de 3 elementos, digamos as 3 primeiras letras do alfabeto: {a,b,c}. As três possíveis combinações são:
ab, ac, bc. Note que em uma combinação não estamos interessados na ordenação dos elementos, uma vez que estamos tratando de um subconjunto do conjunto inicial. desta maneira ab e ba representam um mesmo conjunto.
  • A combinação   indica de quantas formas distintas é possível escolher dois elementos de um grupo de 4, digamos as quatro primeiras letras do alfabeto: {a,b,c,d}. As seis possíveis combinações são:
ab, ac, ad, bc, bd, cd

Aplicando a formula abaixo ao exemplo acima temos:      combinações diferentes

Fórmula

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A fórmula de cálculo de uma combinação é a seguinte:

  Onde s deve ser um número natural.


Então:  

Significado das variáveis ou incógnitas na fórmula: s (do inglês set: conjunto) é o número de elementos escolhidos (parte); n é o número total de elementos (todo).

Dedução

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O processo de dedução exige um conhecimento prévio sobre arranjos e análise combinatória. Em um arranjo, a ordem na qual os elementos são dispostos é levada em conta, enquanto na combinação, a ordem na qual são dispostos não interfere no resultado.

Portanto, para se descobrir quantas combinações existem com   elementos de   é preciso primeiro descobrir quantos arranjos de   elementos de   existem.

 

Como nas combinações a ordem dos elementos não importa, e no arranjo, importa, é natural que haja mais arranjos que combinações. Dessa forma, um grande número de arranjos diferentes podem corresponder a uma mesma combinação. Todas as combinações são repetidas o mesmo número de vezes. Para que se possam eliminar essas repetições, é preciso primeiro determinar quantas existem: o número de vezes que cada combinação se repete. Isso se faz descobrindo de quantas formas foram dispostos os   elementos arranjados, ou seja, determinando de quantas formas diferentes os   elementos podem ser arranjados.

 

Sabendo o número de arranjos possíveis com   elementos de   e o número de vezes que cada combinação com   elementos de   se repete dentro desse número de arranjos, é possível determinar o número de combinações possíveis, dividindo o número de arranjos pelo número de repetições.

 

Simplificando essa expressão, é obtida a fórmula da combinação:

 

Triângulo de Pascal

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No Triângulo de Pascal, é possível encontrar-se o valor de   sem usar a fórmula direta. Nesse triângulo,   é o número da coluna e   da linha, onde está o valor da combinação. Essa relação é melhor explicada no artigo sobre binômios de Newton.

O triângulo de Pascal é uma representação de uma grelha de números cujas linhas são iniciadas e terminadas pela unidade. Se adicionarmos dois números consecutivos numa linha de posição n então o número situado na linha de posição n + 1 é a soma desses números.

Uma combinação   só é possível quando   e  

Ver também

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