Completamento de quadrados

Na álgebra elementar, completar o quadrado é uma técnica para converter um polinômio quadrático da forma

Animação representando o processo de completar o quadrado

$ax^{2}+bx+c$

para a forma

$a(x-h)^{2}+k$

para alguns valores de $h$ e $k$.

O completamento de quadrado é usado em

• resolver equações quadráticas,
• derivar a fórmula quadrática,
• representar funções quadráticas graficamente,
• avaliar integrais no cálculo, como integrais gaussianas com um termo linear no expoente,
• encontrar transformadas de Laplace.

Em matemática, o completamento de quadrado é frequentemente aplicado em qualquer cálculo envolvendo polinômios quadráticos.

Visão geral

Contexto

A fórmula na álgebra elementar para calcular o quadrado de um binômio é:

$(x+p)^{2}\,=\,x^{2}+2px+p^{2}.$

Por exemplo:

${\begin{alignedat}{2}(x+3)^{2}\,&=\,x^{2}+6x+9&&(p=3)\\[3pt](x-5)^{2}\,&=\,x^{2}-10x+25\qquad &&(p=-5).\end{alignedat}}$

Em qualquer quadrado perfeito, o coeficiente de $x$ é duas vezes o número $p$, e o termo constante é igual a $p^{2}$.

Exemplo básico

Considere o seguinte polinômio quadrático:

$x^{2}+10x+28.$

Esse quadrático não é um quadrado perfeito, pois 28 não é o quadrado de 5:

$(x+5)^{2}\,=\,x^{2}+10x+25.$

No entanto, é possível escrever o quadrático original como a soma desse quadrado e uma constante:

$x^{2}+10x+28\,=\,(x+5)^{2}+3.$

Isso é chamado de completar o quadrado.

Descrição geral

Dada qualquer quadrática mônica

$x^{2}+bx+c,$

é possível formar um quadrado com os mesmos dois primeiros termos:

$\left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}\,=\,x^{2}+bx+{\tfrac {1}{4}}b^{2}.$

Esse quadrado difere do quadrático original apenas no valor do termo constante. Portanto, podemos escrever

$x^{2}+bx+c\,=\,\left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}+k,$

onde $k\,=\,c-{\frac {b^{2}}{4}}$. Por exemplo:

${\begin{alignedat}{1}x^{2}+6x+11\,&=\,(x+3)^{2}+2\\[3pt]x^{2}+14x+30\,&=\,(x+7)^{2}-19\\[3pt]x^{2}-2x+7\,&=\,(x-1)^{2}+6.\end{alignedat}}$

Caso não-mônico

Dado um polinômio quadrático da forma

$ax^{2}+bx+c$

é possível fatorar o coeficiente a e completar o quadrado para o polinômio mônico resultante.

Exemplo:

${\begin{aligned}3x^{2}+12x+27&=3(x^{2}+4x+9)\\&{}=3\left((x+2)^{2}+5\right)\\&{}=3(x+2)^{2}+15\end{aligned}}$

Isso nos permite escrever qualquer polinômio quadrático na forma

$a(x-h)^{2}+k.$

Fórmula

Caso escalar

O resultado do preenchimento do quadrado pode ser escrito como uma fórmula. Para o caso geral:

$ax^{2}+bx+c\;=\;a(x-h)^{2}+k,\quad {\text{onde}}\quad h=-{\frac {b}{2a}}\quad {\text{e}}\quad k=c-ah^{2}=c-{\frac {b^{2}}{4a}}.$

Especificamente, quando $a=1$:

$x^{2}+bx+c\;=\;(x-h)^{2}+k,\quad {\text{onde}}\quad h=-{\frac {b}{2}}\quad {\text{e}}\quad k=c-{\frac {b^{2}}{4}}.$

Case matricial

O caso das matrizes é muito semelhante:

$x^{\mathrm {T} }Ax+x^{\mathrm {T} }b+c=(x-h)^{\mathrm {T} }A(x-h)+k\quad {\text{onde}}\quad h=-{\frac {1}{2}}A^{-1}b\quad {\text{e}}\quad k=c-{\frac {1}{4}}b^{\mathrm {T} }A^{-1}b$

onde $A$ tem que ser simétrica.

Se $A$ não é simétrica as fórmulas para $h$ e $k$ devem ser generalizadas para:

$h=-(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}b\quad {\text{e}}\quad k=c-h^{\mathrm {T} }Ah=c-b^{\mathrm {T} }(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}A(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}b$.

Relação com o gráfico

Gráficos de funções quadráticas deslocados para a direita por $h=\{0,5,10,15\}$.

Gráficos de funções quadráticas deslocadas para cima por $k=\{0,5,10,15\}$.

Os gráficos das funções quadráticas deslocaram-se para cima e para a direita em 0, 5, 10 e 15.

Na geometria analítica, o gráfico de qualquer função quadrática é uma parábola no plano $xy$. Dado um polinômio quadrático da forma

$(x-h)^{2}+k\quad {\text{ou}}\quad a(x-h)^{2}+k$

os números $h$ e $k$ podem ser interpretados como as coordenadas cartesianas do vértice (ou ponto estacionário) da parábola. Ou seja, $h$ é a coordenada $x$ do eixo de simetria (ou seja, o eixo de simetria tem a equação $x=h$) e $k$ é o valor mínimo (ou valor máximo, se $a<0$) da função quadrática.

Uma maneira de ver isso é notar que o gráfico da função $f(x)=x^{2}$ é uma parábola cujo vértice está na origem $(0,0)$. Portanto, o gráfico da função $f(x-h)=(x-h)^{2}$ é uma parábola deslocada para a direita por $h$ cujo vértice está em $(h,0)$, conforme mostrado na figura de cima. Por outro lado, o gráfico da função $f(x)+k=x^{2}+k$ é uma parábola deslocada para cima por $k$ cujo vértice está em $(0,k)$, como mostra a figura central. A combinação dos desvios horizontal e vertical produz $f(x-h)+k=(x-h)^{2}+k$ é uma parábola deslocada para a direita por $h$ e para cima por $k$ cujo vértice está em $(h,k)$, como mostrado em a figura de baixo.

Resolvendo equações quadráticas

Completar o quadrado pode ser usado para resolver qualquer equação quadrática. Por exemplo:

$x^{2}+6x+5=0,$

O primeiro passo é completar o quadrado:

$(x+3)^{2}-4=0.$

Em seguida, resolvemos o termo ao quadrado:

$(x+3)^{2}=4.$

Então

$x+3=-2\quad {\text{ou}}\quad x+3=2,$

e portanto

$x=-5\quad {\text{ou}}\quad x=-1.$

Isso pode ser aplicado a qualquer equação quadrática. Quando o $x^{2}$ tem um coeficiente diferente de $1$, o primeiro passo é dividir a equação por esse coeficiente: por exemplo, veja o caso não-mônico abaixo.

Raízes irracionais e complexas

Ao contrário dos métodos que envolvem fatoração da equação, que é confiável apenas se as raízes forem racionais, o completamento do quadrado encontrará as raízes de uma equação quadrática, mesmo quando essas raízes forem irracionais ou complexas. Por exemplo, considere a equação

$x^{2}-10x+18=0.$

Completar o quadrado dá

$(x-5)^{2}-7=0,$

então

$(x-5)^{2}=7.$

Logo,

$x-5=-{\sqrt {7}}\quad {\text{ou}}\quad x-5={\sqrt {7}},$

Em linguagem terser:

$x-5=\pm {\sqrt {7}}.$

então

$x=5\pm {\sqrt {7}}.$

Equações com raízes complexas podem ser tratadas da mesma maneira. Por exemplo:

${\begin{array}{c}x^{2}+4x+5\,=\,0\\[6pt](x+2)^{2}+1\,=\,0\\[6pt](x+2)^{2}\,=\,-1\\[6pt]x+2\,=\,\pm i\\[6pt]x\,=\,-2\pm i.\end{array}}$

Caso não-mônico

Para uma equação que envolve uma quadrática não-mônica, o primeiro passo para resolvê-las é dividir pelo coeficiente de $x^{2}$. Por exemplo:

${\begin{array}{c}2x^{2}+7x+6\,=\,0\\[6pt]x^{2}+{\tfrac {7}{2}}x+3\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}-{\tfrac {1}{16}}\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}\,=\,{\tfrac {1}{16}}\\[6pt]x+{\tfrac {7}{4}}={\tfrac {1}{4}}\quad {\text{ou}}\quad x+{\tfrac {7}{4}}=-{\tfrac {1}{4}}\\[6pt]x=-{\tfrac {3}{2}}\quad {\text{ou}}\quad x=-2.\end{array}}$

A aplicação desse procedimento à forma geral de uma equação quadrática leva à fórmula quadrática.

Outras aplicações

Integração

O completamento de quadrado pode ser usado para avaliar qualquer integral da forma

$\int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}$

usando as integrais básicas

$\int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2a}}\ln \left|{\frac {x-a}{x+a}}\right|+C\quad {\text{e}}\quad \int {\frac {dx}{x^{2}+a^{2}}}={\frac {1}{a}}\arctan \left({\frac {x}{a}}\right)+C.$

Por exemplo, considere a integral

$\int {\frac {dx}{x^{2}+6x+13}}.$

Completar o quadrado no denominador fornece:

$\int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,\int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+2^{2}}}.$

Agora, isso pode ser avaliado usando a substituição $u=x+3$, que gera

$\int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,{\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {x+3}{2}}\right)+C.$

Números complexos

Considere a expressão

$|z|^{2}-b^{*}z-bz^{*}+c,$

onde $z$ e $b$ são números complexos, $z^{*}$ e $b^{*}$ são os conjugados complexos de $z$ e $b$, respectivamente, e $c$ é um número real. Usando a identidade $|u|^{2}=uu^{*}$, podemos reescrever isso como

$|z-b|^{2}-|b|^{2}+c,$

o que é claramente uma quantidade real. Isto é porque

${\begin{aligned}|z-b|^{2}&{}=(z-b)(z-b)^{*}\\&{}=(z-b)(z^{*}-b^{*})\\&{}=zz^{*}-zb^{*}-bz^{*}+bb^{*}\\&{}=|z|^{2}-zb^{*}-bz^{*}+|b|^{2}.\end{aligned}}$

Como outro exemplo, a expressão

$ax^{2}+by^{2}+c,$

onde $a$, $b$, $c$, $x$ e $y$ são números reais, com $a>0$ e $b>0$, podem ser expressos em termos do quadrado do valor absoluto de um número complexo. Definir

$z={\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y.$

Assim,

${\begin{aligned}|z|^{2}&{}=zz^{*}\\&{}=({\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y)({\sqrt {a}}\,x-i{\sqrt {b}}\,y)\\&{}=ax^{2}-i{\sqrt {ab}}\,xy+i{\sqrt {ba}}\,yx-i^{2}by^{2}\\&{}=ax^{2}+by^{2},\end{aligned}}$

então

$ax^{2}+by^{2}+c=|z|^{2}+c.$

Matriz idempotente

Uma matriz $M$ é idempotente quando $M^{2}=M$. As matrizes idempotentes generalizam as propriedades idempotentes de $0$ e $1$. O método de completamento de quadrado de endereçamento da equação

$a^{2}+b^{2}=a,$

mostra que algumas matrizes $2\times 2$ idempotentes são parametrizadas por um círculo no plano $(a,b)$:

A matriz ${\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}$ será idempotente desde que $a^{2}+b^{2}=a,$ que, ao completar o quadrado, se torna

$(a-{\tfrac {1}{2}})^{2}+b^{2}={\tfrac {1}{4}}.$

No plano $(a,b)$, essa é a equação de um círculo com centro ${\bigg (}{\frac {1}{2}},0{\bigg )}$ e raio ${\frac {1}{2}}$.

Perspectiva geométrica

Considere completar o quadrado para a equação

$x^{2}+bx=a.$

Como $x^{2}$ representa a área de um quadrado com o lado de comprimento $x$, e $bx$ representa a área de um retângulo com os lados $b$ e $x$, o processo de preenchimento do quadrado pode ser visto como manipulação visual de retângulos.

Tentativas simples de combinar os retângulos $x^{2}$ e $bx$ em um quadrado maior resultam em um canto ausente. O termo Uma variação na técnica adicionado a cada lado da equação de cima é precisamente a área do canto que falta, de onde deriva a terminologia "completar o quadrado".

Uma variação na técnica

Como ensinado convencionalmente, completar o quadrado consiste em adicionar o terceiro termo, $v^{2}$,

$u^{2}+2uv$

para obter um quadrado. Há também casos em que se pode adicionar o termo do meio, $2uv$ ou $-2uv$, a

$u^{2}+v^{2}$

para obter um quadrado.

Exemplo: a soma de um número positivo e seu valor recíproco

Ao escrever

${\begin{aligned}x+{1 \over x}&{}=\left(x-2+{1 \over x}\right)+2\\&{}=\left({\sqrt {x}}-{1 \over {\sqrt {x}}}\right)^{2}+2\end{aligned}}$

mostramos que a soma de um número positivo $x$ e seu recíproco é sempre maior ou igual a $2$. O quadrado de uma expressão real é sempre maior ou igual a zero, o que fornece o limite declarado; e aqui atingimos $2$ justamente quando $x$ é $1$, fazendo com que o quadrado desapareça.

Exemplo: fatorando um polinômio quártico simples

Considere o problema de fatorar o polinômio

$x^{4}+324.$

Isto é

$(x^{2})^{2}+(18)^{2},$

então o termo do meio é $2(x^{2})(18)=36x^{2}$. Assim temos

${\begin{aligned}x^{4}+324&{}=(x^{4}+36x^{2}+324)-36x^{2}\\&{}=(x^{2}+18)^{2}-(6x)^{2}={\text{uma diferença de dois quadrados}}\\&{}=(x^{2}+18+6x)(x^{2}+18-6x)\\&{}=(x^{2}+6x+18)(x^{2}-6x+18)\end{aligned}}$

(a última linha foi adicionada apenas para seguir a convenção de graus decrescentes de termos).

Referências

• Algebra 1, Glencoe, ISBN 0-07-825083-8, páginas 539–544
• Algebra 2, Saxon, ISBN 0-939798-62-X, páginas 214–214, 241–242, 256–257, 398–401

Ligações externas

• «Completing the square». PlanetMath