Proporcionalidade

Associação linear fundamental entre variáveis quantificáveis
(Redirecionado de Inversamente proporcional)
 Nota: Se procura outras acepções - ou casos específicos como as proporções direta ou com o inverso do quadrado -, veja proporcionalidade (desambiguação).

A proporcionalidade, para a matemática, a química e a física, é a mais simples e comum relação entre grandezas. A proporcionalidade direta é um conceito matemático amplamente difundido na população leiga pois é bastante útil e de fácil resolução através da "regra de três". Quando existe proporcionalidade direta, a razão (divisão) entre os correspondentes valores das duas grandezas relacionadas é uma constante, e a esta constante dá-se o nome de constante de proporcionalidade.

Definição

editar

Em regra, a proporcionalidade é uma relação binária que pode ocorrer numa dupla de funções reais de mesmo domínio. Uma função é proporcional a outra se e somente se existe(m) alguma(s) constante(s) real(is) – denominada(s) constante(s) de proporcionalidade – que igual(em) cada razão entre as valorações. Então, dados um conjunto   e duas funções  , temos que:   é proporcional a   se e só se existe alguma constante real   tal que, para todo   ao longo de  ,   Isso é

 

Isso vale para os números reais; álgebras exóticas não serão abordadas nesse artigo.

Sendo verdadeira a proporcionalidade, existirão exatamente um ou dois valores possíveis para  .

 

E mantêm a propriedade de serem inversas multiplicativas uma da outra.

Propriedades

editar

Algumas propriedades da proporcionalidade serão enunciadas e provadas abaixo:

Equivalente

editar

A relação de proporcionalidade é reflexiva, comutativa (ou "simétrica") e transitiva, portanto, é uma relação de equivalência.

Reflexiva

editar

Toda função é proporcional a si mesma.

 

Provada a partir da definição:

 

Este é o único caso em que existe uma só constante real de proporcionalidade.

Comutativa (ou "Simétrica")

editar

Não existe uma ordem exata dos objetos, pois seja qual for a sua colocação a proporcionalidade não se altera.

 

Isso porque compartilham do mesmo conjunto de constantes de proporcionalidade:

 

Transitiva

editar

A proporcionalidade é transitiva:

 

Portando a expressão acima pode ser simplificada em:

 

Prova-se a partir da definição:

 

O produto entre constantes é constante.

Mecanismos de resolução

editar

Eis alguns processos de cálculo que conservam uma proporcionalidade verdadeira:

  1. Multiplicação de ambos os termos
  2. Inversão de ambos os termos
  3. Eliminação de constantes

Algoritmos

editar
  1. "Regra de três" ou "Multiplicação cruzada"
  2. "Regra de três composta"

Deduzindo proporcionalidades a partir de igualdades

editar

Considere, por exemplo, a equação de Clapeyron:

 

Formas de proporcionalidade

editar
Retórica Simbologia Exemplo
"variação proporcional"   Retas paralelas
"directamente proporcional"   Semelhança de triângulos
"inversamente proporcional"   Lei de Boyle-Mariotte (pressão e volume)
"proporcional ao quadrado"   Esfera (raio e volume)
"inversamente proporcional ao quadrado"   Gravitação Universal e Lei de Coulomb (força e distância)
"proporcional ao cubo"   Semelhança de pirâmides
"inversamente proporcional ao cubo"   Força dipolo permanente (força e distância)
"quadrado proporcional ao cubo"   Terceira lei de Kepler (período e semieixo maior)
"em divina proporção"   As alturas do Homem vitruviano até o umbigo e até a cabeça.

Proporcionalidade inversa

editar

Se duas funções são inversamente proporcionais, então uma é proporcional ao inverso multiplicativo da outra.

 

Isso ocorre por que podemos inverter ambos os termos da expressão de proporcionalidade. Ambas as formas estabelecem que:

 

Divina proporção

editar

Quando o número de ouro   é uma constante duma relação verdadeira de uma proporcionalidade entre funções positivas diz-se que estão em divina proporção.

Isso ocorre se e somente se:

 

Aplicações

editar

Além de um enorme número de aplicações cotidianas, a proporcionalidade, associada à análise dimensional é muito útil ao empirismo científico.

A proporcionalidade também é de interesse das artes e do estudo da estética.

Linearização

editar

Embora a mais simples relação entre grandezas, é sabido contudo que grande parte das relações encontradas entre grandezas físicas naturais não se fazem mediante proporção direta. Há contudo ferramentas matemáticas específicas, a exemplo a troca de variáveis e as linearizações, que permitem reduzir uma relação inicialmente mais complicada a uma relação de proporção direta, quando não ao longo de todo o domínio de validade da relação, ao menos localmente. A expansão em séries de Taylor desempenha importante papel em áreas científicas exatas tanto em teorias como na prática. Indica-se a leitura de artigos específicos para mais informações sobre o assunto.

Ver também

editar

Bibliografia

editar
  Este artigo sobre física é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.
  Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.