Relação de Einstein (teoria cinética)

Em física (mais especificamente, em teoria cinética) a relação de Einstein (também conhecida como relação de Einstein–Smoluchowski) é uma conexão inesperada revelada anteriormente de forma independente por Albert Einstein em 1905 e por Marian Smoluchowski (1906) em seus estudos sobre movimento Browniano. Dois importantes casos especiais da relação são:

$D={{\mu _{q}\,k_{B}T} \over {q}}$ (difusão de partículas carregadas)

$D={\frac {k_{B}T}{6\pi \,\eta \,r}}$ ("equação de Einstein–Stokes", para a difusão de partículas esféricas através de um líquido com baixo número de Reynolds)

onde

• D é a constante de difusão,
• q é a carga elétrica da partícula,
• μ_q, a mobilidade elétrica da partícula carregada, i.e. a razão da velocidade de deriva terminal da partícula para um campo elétrico aplicado,
• $k_{B}$ é a constante de Boltzmann,
• T é a temperatura absoluta,
• η é a viscosidade
• r é o raio da partícula esférica.

A forma mais geral da equação é:

$D=\mu \,k_{B}T$

onde a "mobilidade" μ é a razão da velocidade de deriva terminal da partícula a uma força aplicada, μ = v_d / F.

Esta equação é um exemplo inicial do relação de flutuação-dissipação. É frequentemente usada no fenômeno de eletrodifusão.

Derivações de casos especiais da forma geral

Equação da mobilidade elétrica

Para uma partícula com carga q, sua mobilidade elétrica μ_q é relacionada a sua mobilidade generalizada μ pela equação μ=μ_q/q. Entretanto, a forma geral da equação

$D=\mu \,k_{B}T$

é no caso de uma partícula carregada:

$D={\frac {\mu _{q}\,k_{B}T}{q}}$

Equação de Einstein–Stokes

No limite de baixos números de Reynolds, a mobilidade $\mu$ é o inverso do coeficiente de arrasto $\zeta$. Uma constante de amortecimento, $\gamma$, é frequentemente usada no contexto de $\gamma ^{-1}$, o que implica que o tempo de relaxamento de momento (o tempo necessário para o momento de inércia tornar-se negligenciável comparado ao momento aleatório) do objeto difusivo.

Para partículas esféricas de raio $r$, a lei de Stokes fornece

$\zeta =m\gamma =6\pi \,\eta \,r,$

onde $\eta$ é a viscosidade do medio. Então a relação de Einstein torna-se

$D={\frac {k_{B}T}{6\pi \,\eta \,r}}$

Semicondutor

Em um semicondutor com uma densidade dos estados arbitrária a relação de Einstein é

$D={{\mu _{q}\,p} \over {q{{d\,p} \over {d\eta }}}}$

onde $\eta$ é o potencial químico e p o número de partículas.

Prova do caso geral

(Esta é a demonstração em uma dimensão, mas é idêntica a uma demonstração em duas ou três dimensões: Apenas substitui-se d/dx com $\nabla$. Essencialmente a mesma deonstração é encontrada em muitos lugares, por exemplo ver Kubo.)

Supondo-se alguma energia potencial U cria uma força sobre uma partícula $F=-dU/dx$ (por exemplo, uma força elétrica). Assumindo-se que a partícula irá responder, outras coisas iguais, por mover-se com velocidade $v=\mu F$. Agora assume-se que existe um grande número de tais partículas, com concentração $f(x)$ como uma função da posição. Após algum tempo, o equilíbrio irá ser estabelecido: As partículas irão "acumular-se" em torno das áreas com mais baixa U, mas ainda serão espalhadas em certa medida por causa da difusão aleatória. Neste ponto, não há um fluxo em balanço, resultante, de partículas: A tendência das partículas para serem empurradas para mais baixa U (chamada "corrente de deriva") é igual e oposta à tendência das partículas de se espalhar devido à difusão (chamada "corrente de difusão").

O fluxo resultante de partículas devido à corrente de deriva isolado é

$J_{\mathrm {deriva} }(x)=\mu \,F(x)\,f(x)=-f(x)\mu {\frac {dU}{dx}}$

(i.e. o número de partículas fluindo após um ponto é a concentração de partículas vezes a velocidade média.)

O fluxo líquido (resultante) de partículas devido à corrente de difusão isolada é, pela lei de Fick

$J_{\mathrm {difus.} }(x)=-D{\frac {df}{dx}}$

(o sinal negativo significa que as partículas fluem da maior concentração para a mais baixa).

O equilíbrio requer:

$0=J_{\mathrm {deriva} }+J_{\mathrm {difus.} }=-f(x)\mu {\frac {dU}{dx}}-D{\frac {df}{dx}}$

No equilíbrio, pode-se aplicar termodinâmica, em particular a estatística de Boltzmann, para inferir que

$f(x)=Ae^{-U/(k_{B}T)}$

onde A é alguma constante relacionada com o número total de partículas. Portanto, com a regra da cadeia,

${\frac {df}{dx}}={\frac {-dU/dx}{k_{B}T}}f(x).$

Finalmente, ligando isso em:

$0=J_{\mathrm {deriva} }+J_{\mathrm {difus.} }=-f(x)\mu {\frac {dU}{dx}}-D{\frac {df}{dx}}=-f(x){\frac {dU}{dx}}\left(\mu -{\frac {D}{k_{B}T}}\right)$

Como esta equação deve se sustentar em todos os locais,

$\mu ={\frac {D}{k_{B}T}}.$

Ver também

• Fator de Smoluchowski

Referências

• "Fluctuation-Dissipation: Response Theory in Statistical Physics" by Umberto Marini Bettolo Marconi, Andrea Puglisi, Lamberto Rondoni, Angelo Vulpiani, [1]