3-variedade quíntica de Fermat

Em matemática, a 3-variedade quíntica de Fermat é uma 3-variedade quíntica especial, em outras palavras, uma hipersuperfície de grau 5, dimensão 3 em um espaço projetivo complexo de 4 dimensões, dada pela equação

Seção transversal bidimensional da 3-variedade quíntica de Fermat

$$V^{5}+W^{5}+X^{5}+Y^{5}+Z^{5}=0.$$

Esta 3-variedade, cujo nome é uma homenagem a Pierre de Fermat, é uma variedade Calabi-Yau.

O diamante de Hodge de uma 3-variedade quíntica não singular é

			1
		0		0
	0		1		0
1		101		101		1
	0		1		0
		0		0
			1

Curvas racionais

Herbert Clemens (1984)conjecturou que o número de curvas racionais de um certo grau em uma 3-variedade quíntica genérica é finito. A 3-variedade quíntica de Fermat não é genérica neste sentido, e Alberto Albano e Sheldon Katz (1991)mostraram que suas retas estão contidas em 50 famílias unidimensionais da forma

$$(x:-\zeta x:ay:by:cy)$$

em que $\zeta ^{5}=1$ e $a^{5}+b^{5}+c^{5}=0$. Existem 375 retas em mais de uma família, da forma

$$(x:-\zeta x:y:-\eta y:0)$$

para raízes quintas da unidade $\zeta$ e $\eta$.

Referências

• Albano, Alberto; Katz, Sheldon (1991), «Lines on the Fermat quintic threefold and the infinitesimal generalized Hodge conjecture», Transactions of the American Mathematical Society, ISSN 0002-9947, 324 (1): 353–368, MR 1024767, doi:10.2307/2001512 
• Clemens, Herbert (1984), «Some results about Abel-Jacobi mappings», Topics in transcendental algebraic geometry (Princeton, N.J., 1981/1982), Annals of Mathematics Studies, 106, Princeton University Press, pp. 289–304, MR 756858 
• Cox, David A.; Katz, Sheldon (1999), Mirror symmetry and algebraic geometry, ISBN 978-0-8218-1059-0, Mathematical Surveys and Monographs, 68, Providence, R.I.: American Mathematical Society, MR 1677117