Adjunção (teoria das categorias)

Diagrama comutativo da condição de naturalidade de φ

Na teoria das categorias, uma adjunção é uma tripla consistindo de dois functores , e uma família de isomorfismos

natural em ; a condição de naturalidade é expressa por
para cada , e ,

ou equivalentemente por

para cada , e .

Nesse caso, é dito adjunto esquerdo a , e é dito adjunto direito a , e escreve-se .[1]

Segundo Saunders Mac Lane, "functores adjuntos são onipresentes". Com efeito, vários conceitos da matemática, como grupos livres, corpo de quocientes e completação de espaços métricos são casos particulares do conceito de adjunção.[2]

Unidade e counidadeEditar

Dada adjunção  , a unidade e a counidade são, respectivamente, transformações naturais  ,  , com componentes:

 
 
para cada  . Têm-se as igualdades
  para cada  ,

além de

  para cada  .

Isto implica as identidades triangulares, isto é, os dois diagramas abaixo comutam:[3]

 

Caracterizações alternativasEditar

Por setas universaisEditar

Seja functor  . Supõe-se que, para cada  , há objeto   e seta universal   de   ao functor  , isto é, representação

 
Então, existe única adjunção   tal que   para cada   e tal que   são as componentes da unidade.

Dualmente, dado functor   tal que, para cada  , há objeto  , e seta universal   do functor   a  , existe única adjunção   tal que   para cada   e tal que   são as componentes da counidade.[4]

Por unidade e counidadeEditar

Sejam functores  ,  , e supõe-se que há transformações naturais  ,   satisfazendo as identidades triangulares acima. Então, existe única adjunção   que tem   como unidade e   como counidade.[5]

ExemplosEditar

  • O functor  , levando cada grupo ao correspondente conjunto de elementos, tem adjunto esquerdo  , que leva cada conjunto   ao grupo livre em  . A unidade   é a "inserção de geradores", e a counidade   é a "avaliação de expressões".
  • Denote por   a categoria de espaços métricos e isometrias, e por   a subcategoria plena de espaços métricos completos. Então, a inclusão   tem adjunto esquerdo  , levando cada espaço métrico a sua completação. A unidade   é a "inclusão na completação", e a counidade   evidencia que cada espaço métrico completo é a sua própria completação.[6]
  • Cada pré-ordem pode ser considerada como uma categoria em que   tem no máximo um elemento, e tem um precisamente quando  . Um functor entre pré-ordens é então uma função crescente. Uma adjunção entre pré-ordens é chamada conexão de Galois:
     

    A unidade e a counidade correspondem às desigualdades  ,  , respectivamente. Quando a pré-ordem é uma ordem parcial, as identidades triangulares implicam   e  . Eis exemplos de conexões de Galois:

    • Dada função  , há uma adjunção entre a imagem e a pré-imagem:
       

      para cada  ,  .

    • Seja extensão de corpo  . Para cada corpo intermediário  , denota-se por   o conjunto dos automorfismos de   fixando cada elemento de  , e, para cada subgrupo  , denota-se por   o corpo dos elementos de   que são fixados por cada automorfismo em  . Então,
       

      Este exemplo, proveniente da teoria de Galois, é o que nomeia o conceito.[7]

PropriedadesEditar

Adjunção e limitesEditar

Dada adjunção  , o adjunto direito   preserva os limites de cada  . A demonstração se resume na sequência de isomorfismos naturais:

 
Dualmente, o adjunto esquerdo   preserva todos os colimites.[8]

Unicidade do functor adjuntoEditar

Dadas adjunções   e  , existe único isomorfismo natural   comutando com as unidades e as counidades:

 ,  .[9]

Composição de adjunçõesEditar

A composição de duas adjunções   e   é a adjunção:

 .[10]

Transformações de adjunçõesEditar

Dadas adjunções   e  , um mapeamento da primeira adjunção à segunda é uma dupla de functores  , tal que:[11]

  • É diagrama comutativo:
     
  • Alguma das (logo cada uma das) três condições a seguir vale:
    •  .
    •  .
    • Para cada  , é diagrama comutativo:
       

Dadas adjunções  ,   (entre as mesmas categorias), duas transformações naturais   e   são ditas conjugadas (para as dadas adjunções), ou formam um morfismo entre as adjunções, quando alguma das (logo cada uma das) condições a seguir vale:

  • Para cada  , é diagrama comutativo:
     
  •   é igual à composta  .
  •   é igual à composta  .
  •  .
  •  .

Dada transformação natural  , há exatamente uma transformação natural   que é conjugada a  . Similarmente,   determina unicamente  .[12]

Adjunções de duas variáveisEditar

Dado functor F : A × BC, tal que, para cada aA, o functor F(a, –) : BC tem adjunto direito Ga : CB, existe único functor G : Aop × CB tal que G(a, –) = Ga para cada aA e tal que os isomorfismos

 
são naturais nas três variáveis a, b, c; a tupla consistindo dos functores F, G e do isomorfismo natural é chamada adjunção com parâmetro a.[13]

Adicionalmente, se, para cada bB, F(–, b) : AC também tem adjunto direito, similarmente há isomorfismos naturais

 
diz-se, assim, que há uma adjunção de duas variáveis (não "três variáveis").[14][15]

Adjuntos fiéis e plenosEditar

Numa adjunção (F, G, φ, η, ε) : CD:

Com efeito, denotando-se por ρd, d' a composta

 
que é o mapeamento ffεd, G é fiel (respectivamente pleno) se e só se cada ρd, d' é injetivo (respectivamente sobrejetivo), isto é, cada εd é epimorfismo (respectivamente seção).[16]

Dualmente,

  • F é fiel se e só se cada ηc é monomorfismo;
  • F é pleno se e só se cada ηc é retração;
  • F é pleno e fiel se e só se cada ηc é isomorfismo.[17]

Em particular, uma equivalência adjunta é precisamente uma adjunção entre functores plenos e fiéis.

Subcategoria reflexivaEditar

Uma subcategoria D de uma categoria C é dita reflexiva quando é subcategoria plena e a inclusão DC admite adjunto esquerdo L : CD, chamado refletor. (Alguns autores não exigem que a subcategoria seja plena.[16]) Já que a inclusão é functor pleno e fiel, a counidade L(d) → d é isomorfismo (o refletor "fixa" cada objeto de D).

Como exemplo, a categoria dos espaços compactos de Hausdorff é subcategoria reflexiva da categoria dos espaços topológicos; o refletor leva cada espaço a sua compactificação de Stone–Čech.[17]

Dualmente, uma subcategoria plena é correflexiva quando a inclusão tem adjunto direito. Por exemplo, a subcategoria plena dos grupos abelianos de torção (isto é, os grupos abelianos nos quais todo elemento tem ordem finita) é correflexiva na categoria dos grupos abelianos.

Nota de terminologia: Alguns autores trocaram os significados de "reflexiva" e "correflexiva".[16]

Mônade associadaEditar

 Ver artigo principal: Mónade (teoria das categorias)

Cada adjunção (F, G, η, ε) : CD associa-se a uma mônade, de endofunctor GF : CC, de unidade   e de multiplicação  .[18]

Existência de adjuntosEditar

O teorema do functor adjunto de Freyd diz que, dada   categoria pequeno-completa, na qual todos os conjuntos   são pequenos, e dada   categoria qualquer, um functor   tem adjunto esquerdo se e só se é pequeno-contínuo e satisfaz:

Para cada  , existe conjunto pequeno   e família de setas   tal que, para cada seta  , há   tais que  .[19]

O teorema especial do functor adjunto diz que, dada D categoria pequeno-completa e com conjuntos hom pequenos, e dada C categoria com conjuntos hom pequenos, tais que D tem família cosseparadora pequena e toda coleção de monomorfismos de mesmo contradomínio em D tem produto fibrado (isto é, toda coleção de subobjetos tem ínfimo), então cada functor G : DC pequeno-contínuo e preservando os produtos fibrados de monomorfismos tem adjunto esquerdo.

Uma versão alternativa, de hipóteses mais restritivas, é: Dada D categoria pequeno-completa, com conjuntos hom pequenos, com cosseparador pequeno e tal que, para cada dD, a coleção de subobjetos de d pode ser indexada por um conjunto pequeno, e dada C categoria com conjuntos hom pequenos, um functor G : DC tem adjunto esquerdo se e só se é pequeno-contínuo.[20]

Os teoremas são consequências dos teoremas da existência de objeto inicial.[21]

A seguir, exemplos de aplicações desses teoremas.

  • Denota-se por   o functor "esquecidiço". Pode-se mostrar que U estritamente cria todos os limites pequenos, logo é pequeno-contínuo e   é pequeno-completa. É claro que   tem conjuntos hom pequenos. Seja X conjunto pequeno. Seja {Ai} família de representantes das classes de isomorfismo de grupos que podem ser gerados por no máximo card X elementos. As inclusões dos geradores {fi : XU(Ai)} satisfazem a condição requerida. Segue que U tem adjunto esquerdo, e a existência de grupos livres.[19]
  • Denota-se por   o functor de inclusão, da categoria dos espaços compactos de Hausdorff à categoria dos espaços topológicos. Pode-se mostrar que a categoria dos espaços compactos de Hausdorff é pequeno-completa (usa-se o teorema de Tychonoff para mostrar a existência de produtos), e claramente ambas têm conjuntos hom pequenos. O lema de Urysohn implica que {[0 … 1]} é cosseparador para  . As outras hipóteses são facilmente verificadas. Segue que G tem adjunto esquerdo, chamado compactificação de Stone–Čech.[20]

Referências

  1. (Mac Lane, §IV.1)
  2. (Mac Lane, prefácio, §IV.2)
  3. (Mac Lane, §IV.1, Teorema 1)
  4. (Mac Lane, §IV.1, Teorema 2(i–iv))
  5. (Mac Lane, §IV.1, Teorema 2(v))
  6. (Mac Lane, §IV.2, tabela)
  7. (Mac Lane, §IV.5)
  8. (Riehl, §4.5)
  9. (Riehl, §4.4)
  10. (Mac Lane, §IV.8)
  11. (Mac Lane, §IV.7, proposição 1)
  12. (Mac Lane, §IV.7, proposição 2)
  13. (Mac Lane, §IV.7, teorema 3)
  14. (Riehl, §4.3)
  15. «Two-variable adjunction – nLab». Consultado em 11 de março de 2020 
  16. a b c (Mac Lane, §IV.3)
  17. a b (Riehl, §4.5)
  18. (Riehl, §5.1)
  19. a b (Mac Lane, §V.6)
  20. a b (Mac Lane, §V.8)
  21. (Riehl, §4.6)

BibliografiaEditar