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A análise complexa é um ramo da matemática que investiga as funções holomorfas, isto é, as funções que estão definidas em alguma região do plano complexo, e que tomam valores complexos e são diferenciáveis como funções complexas.

Funções ComplexasEditar

Seja A um conjunto de números complexos. Se   denota qualquer um dos números do conjunto A, então   é denominado uma variável complexa. Se existe uma correspondência entre os valores da variável complexa   para com uma outra variável complexa   para cada valor possível de   (elementos do conjunto A), então   é uma função da variável complexa z no conjunto A e isto é denotado como   O conjunto A é usualmente algum domínio, chamado domínio de definição da função  

Como todo número complexo pode ser escrito na forma   em que   indicam a parte real e a parte imaginária do número complexo z, respectivamente, temos que é possível decompor a função complexa   na forma   Como nas funções reais, existem diversas classes de funções que podem ser atribuídas às funções complexas, por exemplo:

  em que z é uma variável complexa, é uma função polinomial em variável complexa.

Limites de Funções ComplexasEditar

Seja uma função   definida em todos os pontos em alguma vizinhança de um ponto   exceto possivelmente no próprio ponto   A afirmativa de que o limite de tal função, quando   tende a   é um número   denotado como   significa que a função é arbitrariamente próxima do valor   para todos os pontos   numa vizinhança de   exceto possivelmente quando   quando esta vizinhança for suficientemente pequena. Assim, dados a função f e dois números complexos   e   existe uma número positivo   correspondendo a cada número positivo   de forma que:

  sempre que   (  )

Algumas propriedades típicas dos limites de funções reais também podem ser aplicadas às funções complexas, por exemplo: 1) o limite da soma é igual a soma dos limites; 2) o limite do produto é igual ao produto dos limites; 3) o limite do quociente é igual ao quociente dos limites (dado que o denominador não seja 0); ...

As condições de continuidade para as funções complexas são as mesmas de uma função real.

A Derivada de uma Função ComplexaEditar

Tomemos, à semelhança das funções reais, o limite   denominado "derivada" da função   em relação a   no ponto   Assim, como nas funções reais, uma função complexa tem de ser contínua em um ponto para que seja diferenciável neste ponto (mas a recíproca não é necessariamente verdadeira). As principais fórmulas de diferenciação empregadas nas funções reais tem sua versão análoga para as funções complexas.

As Condições de Cauchy-RiemannEditar

Suponha que a função f seja derivável em   em que  

 

 

 

 

e   para a mudança correspondente em v(x,y). Então  

e também:

 

 

Em particular, quando   em que   esses limites se tornam limites de funções de uma variável (\Delta x) de forma que:

 

 

ou seja, as derivadas parciais   e   com relação a x existem no ponto   e

 
e
 

O procedimento análogo pode ser feito observando quando   de forma que existem as derivadas parciais com relação a y e são elas:

 
e
 
no ponto  

Dos dois procedimentos, chegamos às equações:

 

 

Que são as Condições de Cauchy-Riemann. Como   chegamos à expressão   no ponto   Estabelece-se o Teorema:

Teorema. Se a derivada   de uma função   existe num ponto   então as derivadas parciais de primeira ordem, com relação a   e   de cada componente   e   devem existir naquele ponto e satisfazer as condições de Cauchy-Riemann. Além disso,   é dada em termos de suas derivadas parciais pela equação  

O Wikilivros tem um livro chamado Análise complexa
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