Anel (matemática)

estrutura algébrica em matemática, não necessariamente com uma identidade multiplicativa
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Em matemática, um anel é uma estrutura algébrica que consiste em um conjunto associado a duas operações binárias, normalmente chamadas de adição e multiplicação, em que cada operação combina dois elementos para formar um terceiro elemento. Para se qualificar como um anel, o conjunto e suas duas operações devem satisfazer determinadas condições; especificamente, o conjunto deve ser um grupo abeliano sob adição e um monoide sob multiplicação tal que a multiplicação distribui sobre a adição.[1]

Uma imagem ilustrando a adição geométrica em uma curva cúbica em um espaço projetivo. A teoria dos anéis é fundamental na geometria algébrica.

Embora essas operações sejam familiares em muitas estruturas matemáticas, tais como sistemas de números ou números inteiros, elas também são muito gerais, tomando uma ampla variedade de objetos matemáticos. A onipresença dos anéis os torna um princípio organizador central da matemática contemporânea. O ramo da matemática que estuda os anéis é conhecido como teoria dos anéis.

DefiniçãoEditar

Um anel é uma estrutura algébrica que consiste num conjunto   com um elemento   e duas operações binárias   e   que satisfazem as seguintes condições:

  1. Associatividade de    
  2. Existência de elemento neutro (0) de    
  3. Existência de simétrico de    
  4. Comutatividade de    
  5. Associatividade de    
  6. Distributividade de   em relação a   (à esquerda e à direita):  

Alguns autores incluem ainda o axioma:

7. Existência de elemento neutro (1) de    

Em particular, temos que   é um grupo abeliano. Como em qualquer grupo, o inverso para a adição de um elemento   cuja existência é garantida pela terceira condição, é único e costuma ser representado por   Além disso, se   costuma-se representar   por  

ExemplosEditar

  • O conjunto   dos números inteiros forma um anel relativamente à adição e à multiplicação usuais. O mesmo acontece com o conjunto   dos números racionais, o conjunto   dos números reais, o conjunto   dos números complexos e os quatérnios.
  • O conjunto dos números complexos que são raízes de polinómios da forma   ···   com coeficientes inteiros, forma um anel relativamente à adição e à multiplicação usuais, o anel dos inteiros algébricos.
  • O menor anel é formado somente por  
  • Seja   um grupo abeliano e seja End( ) o conjunto dos endomorfismos de   Se, dados   ∈ End( ), se definir a adição de   ∈ End( ) de   com   por   então End( ) é um anel relativamente às operações adição e composição.

Casos particularesEditar

Divisores de zeroEditar

 Ver artigo principal: Divisor de zero

Sejam   um anel e   um elemento de   diferente de   Diz-se que   é um divisor de zero se existir algum   ∈   \   tal que   ou que  

Exemplos:

  • O anel   dos números inteiros não tem divisores de zero.
  • Seja   um número natural maior do que   e seja   com a adição e o produto assim definidos: se   ∈   então   é o resto da divisão por   da soma dos números inteiros   e   e   é o resto da divisão por   do produto dos números inteiros   e   Então   tem divisores de zero quando e só quando   for composto. Neste caso, se a e b forem números naturais tais que   então, em   

IdeaisEditar

 Ver artigo principal: Ideal (teoria dos anéis)

Sejam   um anel e   um subconjunto não vazio de   Diz-se que   é um ideal à esquerda de   se

  1.  
  2.  
  3.  

Diz-se que   é um ideal à direita de   se satisfizer as duas primeiras das condições anteriores, juntamente com

 

Diz-se que   é um ideal bilateral se for simultaneamente um ideal à esquerda e um ideal à direita.

Caso   seja um anel comutativo, não há diferença entre os conceitos de ideal à esquerda e ideal à direita. Fala-se então somente de ideais.

Exemplos:

  • Os inteiros pares formam um ideal do anel dos números inteiros. Mais geralmente, se   ∈ Z\{± }, o conjunto dos inteiros que são múltiplos de   é um ideal do anel dos números inteiros e, de facto, todos os ideais do anel dos números inteiros. são daquela forma.
  • Seja   o conjunto das funções   de R² em R² da forma
 

onde   ∈ R. Então, se   for a função nula, se   for a adição de funções e se   for a composição, então   é um anel (não comutativo). Se

 

então   é um ideal à esquerda, mas não é um ideal à direita.

Se   for um anel e   for um ideal (à esquerda ou à direita), considere-se em   a relação de equivalência ∼ assim definida:

  ∼   se e só se   ∈  

Se   ∈   seja   a sua classe de equivalência; seja   o conjunto de todas as classes de equivalência. Então, se se definir

 

  é novamente um grupo abeliano. Além disso, se   for um ideal à esquerda e se   ∈   então faz sentido definir a função

 

Analogamente, se   for um ideal à direita e se   ∈   então faz sentido definir a função

 

Caso   seja um ideal bilateral,   volta a ser um anel se se definir

 

Referências

  1. Fagundes, Pedro L. «Elementos de Álgebra - Aula 02 - Anéis». Youtube/Univesp. 4 de maio de 2018. Consultado em 13 de julho de 2018 

BibliografiaEditar

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  • Ellis, G. Rings and Fields. Oxford, England: Oxford University Press, 1993.
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  • Sloane, N. J. A. Sequences A027623 and A037234 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  • Zwillinger, D. (Ed.). "Rings." §2.6.3 in CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 141–143, 1995

Ver tambémEditar