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Anel (matemática)

estrutura algébrica em matemática, não necessariamente com uma identidade multiplicativa
Uma imagem ilustrando a adição geométrica em uma curva cúbica em um espaço projetivo. A teoria dos anéis é fundamental na geometria algébrica.
Disambig grey.svg Nota: Para outro significado de Anel, veja Anel.

Em matemática, um anel é uma estrutura algébrica que consiste em um conjunto associado a duas operações binárias, normalmente chamadas de adição e multiplicação, em que cada operação combina dois elementos para formar um terceiro elemento. Para se qualificar como um anel, o conjunto e suas duas operações devem satisfazer determinadas condições; especificamente, o conjunto deve ser um grupo abeliano sob adição e um monoide sob multiplicação tal que a multiplicação distribui sobre a adição.[1]

Embora essas operações sejam familiares em muitas estruturas matemáticas, tais como sistemas de números ou números inteiros, elas também são muito gerais, tomando uma ampla variedade de objetos matemáticos. A onipresença dos anéis os torna um princípio organizador central da matemática contemporânea. O ramo da matemática que estuda os anéis é conhecido como teoria dos anéis.

DefiniçãoEditar

Um anel é uma estrutura algébrica que consiste num conjunto   com um elemento   e duas operações binárias   e   que satisfazem as seguintes condições:

  1. Associatividade de    
  2. Existência de elemento neutro (0) de    
  3. Existência de simétrico de    
  4. Comutatividade de    
  5. Associatividade de    
  6. Distributividade de   em relação a   (à esquerda e à direita):  

Alguns autores incluem ainda o axioma:

7. Existência de elemento neutro (1) de    

Em particular, temos que   é um grupo abeliano. Como em qualquer grupo, o inverso para a adição de um elemento   cuja existência é garantida pela terceira condição, é único e costuma ser representado por   Além disso, se   costuma-se representar   por  

ExemplosEditar

  • O conjunto   dos números inteiros forma um anel relativamente à adição e à multiplicação usuais. O mesmo acontece com o conjunto   dos números racionais, o conjunto   dos números reais, o conjunto   dos números complexos e os quatérnios.
  • O conjunto dos números complexos que são raízes de polinómios da forma   ···   com coeficientes inteiros, forma um anel relativamente à adição e à multiplicação usuais, o anel dos inteiros algébricos.
  • O menor anel é formado somente por  
  • Seja   um grupo abeliano e seja End( ) o conjunto dos endomorfismos de   Se, dados   ∈ End( ), se definir a adição de   ∈ End( ) de   com   por   então End( ) é um anel relativamente às operações adição e composição.

Casos particularesEditar

Divisores de zeroEditar

 Ver artigo principal: Divisor de zero

Sejam   um anel e   um elemento de   diferente de   Diz-se que   é um divisor de zero se existir algum   ∈   \   tal que   ou que  

Exemplos:

  • O anel   dos números inteiros não tem divisores de zero.
  • Seja   um número natural maior do que   e seja   com a adição e o produto assim definidos: se   ∈   então   é o resto da divisão por   da soma dos números inteiros   e   e   é o resto da divisão por   do produto dos números inteiros   e   Então   tem divisores de zero quando e só quando   for composto. Neste caso, se a e b forem números naturais tais que   então, em   

IdeaisEditar

 Ver artigo principal: Ideal (teoria dos anéis)

Sejam   um anel e   um subconjunto não vazio de   Diz-se que   é um ideal à esquerda de   se

  1.  
  2.  
  3.  

Diz-se que   é um ideal à direita de   se satisfizer as duas primeiras das condições anteriores, juntamente com

 

Diz-se que   é um ideal bilateral se for simultaneamente um ideal à esquerda e um ideal à direita.

Caso   seja um anel comutativo, não há diferença entre os conceitos de ideal à esquerda e ideal à direita. Fala-se então somente de ideais.

Exemplos:

  • Os inteiros pares formam um ideal do anel dos números inteiros. Mais geralmente, se   ∈ Z\{± }, o conjunto dos inteiros que são múltiplos de   é um ideal do anel dos números inteiros e, de facto, todos os ideais do anel dos números inteiros. são daquela forma.
  • Seja   o conjunto das funções   de R² em R² da forma
 

onde   ∈ R. Então, se   for a função nula, se   for a adição de funções e se   for a composição, então   é um anel (não comutativo). Se

 

então   é um ideal à esquerda, mas não é um ideal à direita.

Se   for um anel e   for um ideal (à esquerda ou à direita), considere-se em   a relação de equivalência ∼ assim definida:

  ∼   se e só se   ∈  

Se   ∈   seja   a sua classe de equivalência; seja   o conjunto de todas as classes de equivalência. Então, se se definir

 

  é novamente um grupo abeliano. Além disso, se   for um ideal à esquerda e se   ∈   então faz sentido definir a função

 

Analogamente, se   for um ideal à direita e se   ∈   então faz sentido definir a função

 

Caso   seja um ideal bilateral,   volta a ser um anel se se definir

 

Referências

  1. Fagundes, Pedro L. «Elementos de Álgebra - Aula 02 - Anéis». Youtube/Univesp. 4 de maio de 2018. Consultado em 13 de julho de 2018 

BibliografiaEditar

  • R.B.J.T. Allenby (1991). Rings, Fields and Groups. [S.l.]: Butterworth-Heinemann. ISBN 0-340-54440-6 
  • Atiyah M. F., Macdonald, I. G., Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont. 1969 ix+128 pp.
  • Beachy, J. A. Introductory Lectures on Rings and Modules. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1999.
  • T.S. Blyth and E.F. Robertson (1985). Groups, rings and fields: Algebra through practice, Book 3. [S.l.]: Cambridge university Press. ISBN 0-521-27288-2 
  • Dresden, G. "Small Rings." [1]
  • Ellis, G. Rings and Fields. Oxford, England: Oxford University Press, 1993.
  • Goodearl, K. R., Warfield, R. B., Jr., An introduction to noncommutative Noetherian rings. London Mathematical Society Student Texts, 16. Cambridge University Press, Cambridge, 1989. xviii+303 pp. ISBN 0-521-36086-2
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  • Nagell, T. "Moduls, Rings, and Fields." §6 in Introduction to Number Theory. New York: Wiley, pp. 19–21, 1951
  • Nathan Jacobson, Structure of rings. American Mathematical Society Colloquium Publications, Vol. 37. Revised edition American Mathematical Society, Providence, R.I. 1964 ix+299 pp.
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  • Lam, T. Y., A first course in noncommutative rings. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 131. Springer-Verlag, New York, 2001. xx+385 pp. ISBN 0-387-95183-0
  • Lam, T. Y., Exercises in classical ring theory. Second edition. Problem Books in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 2003. xx+359 pp. ISBN 0-387-00500-5
  • Lam, T. Y., Lectures on modules and rings. Graduate Texts in Mathematics, 189. Springer-Verlag, New York, 1999. xxiv+557 pp. ISBN 0-387-98428-3
  • Lang, Serge (2005), Undergraduate Algebra, ISBN 978-0-387-22025-3 3rd ed. , Berlin, New York: Springer-Verlag .
  • Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, ISBN 978-0-521-36764-6, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 2nd ed. , Cambridge University Press 
  • McConnell, J. C.; Robson, J. C. Noncommutative Noetherian rings. Revised edition. Graduate Studies in Mathematics, 30. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. xx+636 pp. ISBN 0-8218-2169-5
  • Pinter-Lucke, James (2007), «Commutativity conditions for rings: 1950–2005», Expositiones Mathematicae, ISSN 0723-0869, 25 (2): 165–174, doi:10.1016/j.exmath.2006.07.001 
  • Rowen, Louis H., Ring theory. Vol. I, II. Pure and Applied Mathematics, 127, 128. Academic Press, Inc., Boston, MA, 1988. ISBN 0-12-599841-4, ISBN 0-12-599842-2
  • Sloane, N. J. A. Sequences A027623 and A037234 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  • Zwillinger, D. (Ed.). "Rings." §2.6.3 in CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 141–143, 1995

Ver tambémEditar