Teorema de Taylor

Em cálculo, o Teorema de Taylor, recebe seu nome do matemático britânico Brook Taylor, quem o enunciou em 1712. Este teorema permite aproximar uma função derivável na vizinhança reduzida em torno de um ponto a: E (a, d) mediante um polinômio cujos coeficientes dependem das derivadas da função nesse ponto. Em termos matemáticos: Se $\ n$ ≥ 0 é um inteiro e $\ f$ uma função que é derivável $\ n$ vezes no intervalo fechado [$\ a$, $\ x$] e n+1 no intervalo aberto ] $\ a$, $\ x$[, então, deduz-se que:

$f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f^{(2)}(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+R$

$f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+R$

Onde, $\ n!$ denota o fatorial de $\ n$, e $\ R$ é o resto, termo que depende de $\ x$ e é pequeno se $\ x$ está próximo ao ponto $\ a$. Existem duas expressões para $\ R$ que referem-se à continuação:

$R={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}$

onde $\ a$ e $\ x$, pertencem aos números reais, $\ n$ aos inteiros e $\ \xi$ é um número real entre $\ a$ e $\ x$.

$R=\int _{a}^{x}{\frac {f^{(n+1)}(t)}{n!}}(x-t)^{n}\,dt$

Se $\ R$ é expresso da primeira forma, é denominado Termo complementar de Lagrange, dado que o Teorema de Taylor enuncia-se como uma generalização do Teorema do valor médio ou Teorema de Lagrange, enquanto que a segunda expressão de R mostra ao teorema como uma generalização do Teorema fundamental do cálculo integral.

Para algumas funções $\ f(x)$, pode-se provar que o resto, $\ R$, aproxima-se de zero quando $\ n$ aproxima-se do ∞; tais funções podem ser expressas como séries de Taylor em uma vizinhança reduzida ao redor de um ponto $\ a$ e são denominadas funções analíticas.

O teorema de Taylor com $\ R$ expresso da segunda forma é também válido se a função $\ f$ tem números complexos ou valores vetoriais. Além disso, existe uma variação do teorema de Taylor para funções com múltiplas variáveis.

Teorema de Taylor para várias variáveis

O Teorema de Taylor pode ser generalizado para o caso de várias variáveis da seguinte forma: seja B uma bola em R^N de centro a, e f uma função de valores reais definida no fecho ${\bar {B}}$, possuindo n+1 derivadas parciais contínuas em todos os pontos. O teorema de Taylor afirma que para qualquer $x\in B$, temos

$f(x)=\sum _{|\alpha |=0}^{n}{\frac {1}{\alpha !}}{\frac {\partial ^{\alpha }f(a)}{\partial x^{\alpha }}}(x-a)^{\alpha }+\sum _{|\alpha |=n+1}R_{\alpha }(x)(x-a)^{\alpha }$

onde o somatório é feito sobre os multi-índices α (onde se utiliza a notação multi-índice nessa fórmula).

O termo restante satisfaz a desigualdade

$|R_{\alpha }(x)|\leq \sup _{y\in {\bar {B}}}\left|{\frac {1}{\alpha !}}{\frac {\partial ^{\alpha }f(y)}{\partial x^{\alpha }}}\right|$

para todo α onde |α| = n + 1. Tal qual no caso de uma variável, os termos de resto podem ser expressos explicitamente.

Ver também

• Série de Taylor