Aritmética
A aritmética é um dos ramos elementares da matemática que estuda operações numéricas como adição, subtração, multiplicação e divisão. Num sentido mais amplo, também inclui exponenciação, radiciação e logaritmação.
Sistemas aritméticos podem ser distinguidos baseado no tipo de número que operam. A aritmética inteira se restringe a cálculos com número inteiro. A aritmética racional se restringe a operações com frações que estão entre os números inteiros. Na aritmética real os cálculos são feitos tanto com racionais, quanto com irracionais, cobrindo toda a reta numérica.
Outra distinção é baseada no sistema numérico utilizado para realizar os cálculos. A aritmética decimal é a mais comum, utilizando os numerais básicos de 0 a 9 e suas diferentes combinações para expressar números. Por outro lado, a aritmética binária é mais utilizada por computadores e representam números como combinações dos numerais básicos 0 e 1. Alguns sistemas aritméticos operam em objetos matemáticos que não sejam números, como a aritmética matricial.
As operações aritméticas formam a base de diversos outros ramos da matemática, como álgebra, cálculo e estatística. Eles desempenham um papel similar nas ciências, como física e na economia. A aritmética está presente em vários aspectos do cotidiano, por exemplo, para calcular o troco enquanto faz uma compra ou para gerenciar finanças pessoais. É uma das formas primordiais que os estudantes encontram na educação matemática. Seus fundamentos cognitivos e conceituais são estudados pela psicologia e pela filosofia.
A prática da aritmética é de pelo menos milhares de anos e possivelmente dezenas de milhares de anos. civilizações antigas como os egípcios e os sumérios inventaram o sistema numeral para resolver problemas práticos em aproximadamente 3000 a.C. Começando nos séculos VI e VII a.C., os gregos antigos iniciaram um estudo mais abstrato dos números e introduziram o método de provas matemáticas rigorosas. Os indianos antigos desenvolveram o conceito de zero e o sistema decimal, o qual os matemáticos árabes posteriormente refinaram e espalharam ao mundo ocidental durante o período medieval. A primeira calculadora mecânica foi inventada no século XVII. Os séculos XVIII e XIX viram o desenvolvimento da teoria dos números moderna e a formulação de fundações axiomáticas da aritmética. No século XX, o surgimento de calculadoras eletrônicas e computadores revolucionaram a precisão e velocidade que cálculos aritméticos pudessem ser efetuados.
Definição, etimologia e áreas reacionadas editar
Aritmética é um ramo fundamental da matemática que estuda números e suas operações. Em particular, ela lida com cálculos numéricos usando as operações aritméticas de adição, subtração, multiplicação e divisão.[1] Num sentido mais amplo, também inclui exponenciação, radiciação e logaritmação.[2] O termo "aritmética" tem suas raízes no termo latino "arithmetica", que deriva das palavras gregas ἀριθμός (arithmos), que significa "número", e ἀριθμητική τέχνη (arithmetike tekhne), que significa "a arte de contar".[3]
Existem discordâncias sobre sua definição precisa. De acordo com uma caracterização estreita, a aritmética lida apenas com números naturais.[4] No entanto, a visão mais comum é incluir operações com números inteiros, racionais, reais e, às vezes, também complexos em seu escopo.[1] Algumas definições restringem a aritmética ao campo de cálculos numéricos.[5] Quando entendida em um sentido mais amplo, ela também inclui o estudo de como o conceito de números se desenvolveu, a análise das propriedades e relações entre os números, e o exame da estrutura axiomática das operações aritméticas.[6]
A aritmética está intimamente relacionada à teoria dos números e alguns autores usam os termos como sinônimos.[4] No entanto, em um sentido mais específico, a teoria dos números é restrita ao estudo dos inteiros e concentra-se em suas propriedades e relacionamentos, como divisibilidade, fatoração e primalidade.[7] Tradicionalmente, é conhecida como aritmética superior.[8]
História editar
Ver artigo principal: História da aritmética
A pré-história da aritmética é limitada a um pequeno número de artefatos que podem indicar a concepção de adição e subtração; o mais conhecido desses é o osso de Ishango da África Central, datado dum momento entre 20 000 e 18 000 a.C., embora sua interpretação seja contestada.[9]
Os primeiros registros escritos indicam que os egípcios e babilônios usavam todas as operações aritméticas elementares tão cedo quanto 2000 a.C. Esses artefatos nem sempre revelam o processo específico utilizado para resolver problemas, mas as características do sistema de numeração em particular influenciaram fortemente a complexidade dos métodos. O sistema de hieróglifos para numerais egípcios, como os numerais romanos posteriores, descendem de marcas de contagem.[10] Em ambos os casos, esta origem resultou em valores que usavam uma base decimal, mas não incluíam a notação posicional. Cálculos complexos com algarismos romanos exigiram o auxílio de uma placa de contagem ou o ábaco romano para obter os resultados.[11]
Sistemas de numeração mais antigos, que tinham notação posicional, não eram decimais: um exemplo disso é o sistema de base 60, sexagesimal, dos babilônios.[10][12] Os Maias, mais à frente, usaram o sistema de (base 20), que definiu o sistema de numeração Maia. Devido a este conceito lugar-valor, a capacidade de reutilizar os mesmos dígitos para diferentes valores contribuíram para métodos mais simples e mais eficientes de cálculo.
O desenvolvimento histórico contínuo da aritmética moderna começa com a civilização da Grécia Antiga, embora se tenha originado muito mais tarde do que os exemplos dos babilônios e os do Egito.[13] Antes das obras de Euclides (c. 300 a.C.), os estudos gregos em matemática sobrepunham convicções filosóficas e místicas, e.g. Nicômaco de Gérasa resumiu o ponto de vista da abordagem aos números dos primeiros pitagóricos e suas relações uns com os outros em sua Arithmetike eisagoge (Introdução à aritmética).
Os numerais gregos derivaram-se a partir do sistema hierático egípcio, também carecendo de notação posicional, e, portanto, com a mesma complexidade imposta sobre as operações básicas de aritmética. O matemático antigo Arquimedes dedicou toda a sua obra Αρχιμήδης Ψαµµίτης (Archimedes Psammites - O calculista de areia) apenas para a elaboração de uma notação para um certo inteiro grande.
O desenvolvimento gradual dos algarismos indo-arábicos de forma independente criou o conceito de lugar de valor e notação posicional, que combinou os métodos mais simples para cálculos com a base decimal e o uso de um dígito representando o zero. Isto permitiu que o sistema representasse de forma consistente ambos inteiros grandes e pequenos. Esta abordagem, eventualmente substituiu todos os outros sistemas. No início do século VI d.C., o matemático indiano Aryabhata incorporou uma versão existente do sistema em seu trabalho, e o experimentou com notações diferentes. No século VII, Brahmagupta estabeleceu o uso de zero como um número separado e determinou os resultados para multiplicação, divisão, adição e subtração de zero por todos os outros números, com exceção do resultado da divisão por zero.[14] Seu contemporâneo, o bispo siríaco Severus Sebokht descreveu a excelência deste sistema como "... métodos valiosos de cálculo que ultrapassam a descrição". Os árabes também aprenderam este novo método e chamaram-lhe hesab.
Embora o Codex Vigilanus tenha descrito uma forma primitiva de algarismos arábicos (omitindo o zero) em 976 dC, Fibonacci foi o principal responsável por espalhar a sua utilização em toda a Europa após a publicação do seu livro Liber Abaci em 1202. Ele considerou a importância desta "nova" representação dos números, que ele intitulou o "Método dos índios" (em latim Indorum Modus), tão fundamental, que todos os fundamentos matemáticos relacionados, incluindo os resultados de Pitágoras e o algorism descrevendo os métodos para a realização de cálculos reais, eram "quase um erro", em comparação.
Na Idade Média, a aritmética era uma das sete artes liberais ensinadas nas universidades.
O florescimento da álgebra no mundo medieval islâmico e na Europa renascentista, foi uma consequência da simplificação enorme de computação através de notação decimal.
Vários tipos de ferramentas existem para auxiliar em cálculos numéricos. Exemplos incluem réguas de cálculo (para a multiplicação, divisão e trigonometria) e nomogramas, além da calculadora eletrônica.
Operações Aritméticas editar
As operações aritméticas tradicionais são a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão, embora operações mais avançadas (tais como as manipulações de porcentagens, raiz quadrada, exponenciação e funções logarítmicas) também sejam por vezes incluídas neste ramo. A aritmética desenrola-se em obediência a uma ordem de operações.
A aritmética abrange o estudo de algoritmos manuais para a realização de operações com os números naturais, inteiros, racionais (na forma de frações) e reais. Tais operações, no entanto, podem ser realizadas com o uso de ferramentas como calculadoras, computadores ou o ábaco, o que não lhes tira o carácter aritmética.
Teoria dos números editar
Ver artigo principal: Teoria dos númerosO termo aritmética também é usado em referência à teoria dos números]]. Isto inclui as propriedades dos inteiros relacionados com a primalidade, a divisibilidade[15] e a solução de equações em inteiros, bem como a pesquisa moderna que tem surgido deste estudo. É neste contexto que se pode encontrar coisas como o teorema fundamental da aritmética e funções aritméticas. O livro A Course in Arithmetic de Jean-Pierre Serre reflete esse uso,[16] assim como frases como a aritmética de primeira ordem ou geometria algébrica aritmética.
Aritmética na educação editar
O ensino primário em matemática, muitas vezes coloca um forte foco em algoritmos para a aritmética de números naturais, inteiros, frações, e decimais (usando o sistema local de valor decimal). Este estudo é por vezes conhecido como algorism.
O aparecimento de dificuldades e a desmotivação destes algoritmos há muito levou os educadores a questionar este currículo, defendendo o ensino precoce das ideias matemáticas mais centrais e intuitivas. Um movimento notável neste sentido foi a Matemática Moderna dos anos 1960 e 1970, que tentou ensinar aritmética, no espírito de desenvolvimento axiomático da teoria dos conjuntos, um eco da tendência prevalecente na matemática superior.[17]
Ver também editar
Referências
- ↑ a b Romanowski 2008, pp. 302–303; HC staff 2022b; MW staff 2023; Bukhshtab & Pechaev 2020.
- ↑ Bukhshtab & Pechaev 2020; Burgin 2022, pp. 57, 77; Adamowicz 1994, p. 299.
- ↑ Peirce 2015, p. 109; Waite 2013, p. 42; Smith 1958, p. 7.
- ↑ a b Oliver 2005, p. 58; Hofweber 2016, p. 153.
- ↑ Sophian 2017, p. 84.
- ↑ Bukhshtab & Pechaev 2020; Stevenson & Waite 2011, p. 70; Romanowski 2008, pp. 303–304.
- ↑ Wilson 2020, pp. 1–2; Karatsuba 2020; Campbell 2012, p. 33; Robbins 2006, p. 1.
- ↑ Duverney 2010, p. v; Robbins 2006, p. 1.
- ↑ Rudman, Peter Strom (2007). How Mathematics Happened: The First 50,000 Years. Amherst, New York: Prometheus Books. p. 64. ISBN 978-1591024774
- ↑ a b Ifrah, Georges. História Universal dos Algarismos. A Inteligência dos Homens Contada pelos Números e pelo Cálculo. 1. Rio de Janeiro: Nova Fronteira. p. 162-180;346-354;404-409. 735 páginas. ISBN 85-209-0841-1
- ↑ Gonick, Larry (1984). Introdução Ilustrada à Computação. São Paulo: Harper & Row do Brasil. p. 34-35. 242 páginas
- ↑ Souza, Júlio Cesar de Mello e (Malba Tahan). Matemática Divertida e Curiosa 4ª ed. Rio de Janeiro: Record. p. 22-23. 158 páginas. ISBN 85-01-03375-8
- ↑ Karlson, Paul (1961). «Os Gregos». A Magia dos Números. Porto Alegre: Globo. p. 80-154. 608 páginas
- ↑ Plofker, Kim (autor do capítulo);Katz, Victor J. (editor) (2007). «Mathematics in India». The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. New Jersey: Princeton University Press. 712 páginas. ISBN 978-0-69111485-9
- ↑ Alencar Filho, Edgard de (1992). Teoria Elementar dos Números 3ª ed. São Paulo: Nobel. p. 68-83;116-136. 386 páginas. ISBN 85-213-0040-9
- ↑ Serre, Jean-Pierre (1973). A Course in Arithmetic (em inglês). New York: Springer. 115 páginas. ISBN 978-0-38790040-7
- ↑ Navarro, Joaquin (1979). A Nova Matemática. Rio de Janeiro: Salvat. p. 21-62;84. 143 páginas. ISBN 84-401-0534-7
Bibliografia editar
- Achatz, Thomas; Anderson, John G. (2005). Technical Shop Mathematics (em inglês). [S.l.]: Industrial Press Inc. ISBN 978-0-8311-3086-2
- Adamowicz, Zofia (1994). «The Power of Exponentiation in Arithmetic». In: Joseph, Anthony; Mignot, Fulbert; Murat, François; Prum, Bernard; Rentschler, Rudolf. First European Congress of Mathematics: Paris, July 6-10, 1992 Volume I Invited Lectures (Part 1) (em inglês). [S.l.]: Birkhäuser. pp. 299–320. ISBN 978-3-0348-9110-3. doi:10.1007/978-3-0348-9110-3_9
- Adhami, Reza; Meenen, Peter M.; Meenen, Peter; Hite, Denis (2007). Fundamental Concepts in Electrical and Computer Engineering with Practical Design Problems (em inglês). [S.l.]: Universal-Publishers. ISBN 978-1-58112-971-7
- Ali Rahman, Ernna Sukinnah; Shahrill, Masitah; Abbas, Nor Arifahwati; Tan, Abby (2017). «Developing Students' Mathematical Skills Involving Order of Operations». International Journal of Research in Education and Science: 373. doi:10.21890/ijres.327896
- Ang, Tian Se; Lam, Lay Yong (2004). Fleeting Footsteps: Tracing The Conception Of Arithmetic And Algebra In Ancient China (em inglês) Revised ed. [S.l.]: World Scientific. ISBN 978-981-4483-60-5
- Asano, Akihito (2013). An Introduction to Mathematics for Economics. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-00760-4
- Askew, Mike (2010). «It Ain't (Just) What You Do: Effective Teachers of Numeracy». In: Ian, Thompson. Issues In Teaching Numeracy In Primary Schools (em inglês). [S.l.]: McGraw-Hill Education (UK). ISBN 978-0-335-24153-8
- Aubrey, Carol (1999). A Developmental Approach to Early Numeracy: Helping to Raise Children's Achievements and Deal with Difficulties in Learning (em inglês). [S.l.]: A&C Black. ISBN 978-1-4411-9164-9
- Bagaria, Joan (2023). «Set Theory». The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab, Stanford University. Consultado em 19 de novembro de 2023
- Barnes, Andrew J.; Rice, Thomase; Hanoch, Yaniv (2017). «Using Behavioral Economics to Improve People's Decisions About Purchasing Health Insurance». In: Hanoch, Yaniv; Barnes, Andrew; Rice, Thomas. Behavioral Economics and Healthy Behaviors: Key Concepts and Current Research (em inglês). [S.l.]: Taylor & Francis. ISBN 978-1-317-26952-6
- Berch, Daniel B.; Geary, David C.; Koepke, Kathleen Mann (3 de outubro de 2015). Development of Mathematical Cognition: Neural Substrates and Genetic Influences (em inglês). [S.l.]: Academic Press. ISBN 978-0-12-801909-2
- Bird, John (2021). Bird's Engineering Mathematics (em inglês). [S.l.]: Taylor & Francis. ISBN 978-0-367-64378-2
- Bloch, Ethan D. (2011). The Real Numbers and Real Analysis (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-72177-4
- Bohacek, Peter (2009). «Introduction to Measurement». Teaching Quantitative Skills in the Geosciences. Carleton College Science Education Resource Center; American Association of Physics Teachers. Consultado em 6 de março de 2024
- Booker, George; Bond, Denise; Sparrow, Len; Swan, Paul (2015). Teaching Primary Mathematics (em inglês). [S.l.]: Pearson Higher Education AU. ISBN 978-1-4860-0488-1
- Bradley, Michael J. (2006). The Birth of Mathematics: Ancient Times To 1300 (em inglês). [S.l.]: Infobase Publishing. ISBN 978-0-7910-9723-6
- Brent, Richard P.; Zimmermann, Paul (2010). Modern Computer Arithmetic (em inglês). [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-49228-7
- Bronshtein, I. N.; Semendyayev, K. A.; Musiol, Gerhard; Mühlig, Heiner (2015). Handbook of Mathematics (em inglês). [S.l.]: Springer. ISBN 978-3-662-46221-8
- Brown, David (2010). «The Measurement of Time and Distance in the Heavens Above Mesopotamia, with Brief Reference Made to Other Ancient Astral Science». In: Morley, Iain; Renfrew, Colin. The Archaeology of Measurement: Comprehending Heaven, Earth and Time in Ancient Societies (em inglês). [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-11990-0
- Bruderer, Herbert (4 de janeiro de 2021). Milestones in Analog and Digital Computing (em inglês). [S.l.]: Springer Nature. ISBN 978-3-030-40974-6
- Budd, Christopher J.; Sangwin, Christopher (17 de maio de 2001). Mathematics Galore!: Masterclasses, Workshops and Team Projects in Mathematics and Its Applications (em inglês). [S.l.]: OUP Oxford. ISBN 978-0-19-850770-3
- Bukhshtab, A. A.; Nechaev, V. I. (2014). «Elementary Number Theory». Encyclopedia of Mathematics. Springer. Consultado em 23 de outubro de 2023
- Bukhshtab, A. A.; Nechaev, V. I. (2016). «Natural Number». Encyclopedia of Mathematics. Springer. Consultado em 23 de outubro de 2023
- Bukhshtab, A. A.; Pechaev, V. I. (2020). «Arithmetic». Encyclopedia of Mathematics. Springer. Consultado em 23 de outubro de 2023
- Burgin, Mark (2022). Trilogy Of Numbers And Arithmetic - Book 1: History Of Numbers And Arithmetic: An Information Perspective (em inglês). [S.l.]: World Scientific. ISBN 978-981-12-3685-3
- Cafaro, Massimo; Epicoco, Italo; Pulimeno, Marco (2018). «Techniques for Designing Bioinformatics Algorithms». Encyclopedia of Bioinformatics and Computational Biology: ABC of Bioinformatics (em inglês). [S.l.]: Elsevier. ISBN 978-0-12-811432-2
- Cai, Tianxin (2023). A Brief History of Mathematics: A Promenade Through the Civilizations of Our World (em inglês). [S.l.]: Springer Nature. ISBN 978-3-031-26841-0
- Campbell, Stephen R. (2012). «Understanding Elementary Number Theory in Relation to Arithmetic and Algebra». In: Zazkis, Rina; Campbell, Stephen R. Number Theory in Mathematics Education: Perspectives and Prospects (em inglês). [S.l.]: Routledge. ISBN 978-1-136-50143-2
- Campbell-Kelly, Martin; Croarken, Mary; Flood, Raymond; Robson, Eleanor (2007). The History of Mathematical Tables: From Sumer to Spreadsheets (em inglês). [S.l.]: OUP. ISBN 978-0-19-850841-0
- Caprio, Michele; Aveni, Andrea; Mukherjee, Sayan (2022). «Concerning Three Classes of Non-Diophantine Arithmetics». Involve, A Journal of Mathematics. 15 (5): 763–774. arXiv:2102.04197
. doi:10.2140/involve.2022.15.763 - Carraher, David W.; Schliemann, Analucia D. (2015). «Powerful Ideas in Elementary School Mathematics». In: English, Lyn D.; Kirshner, David. Handbook of International Research in Mathematics Education (em inglês). [S.l.]: Routledge. ISBN 978-1-134-62664-9
- Cavanagh, Joseph (19 de dezembro de 2017). «6. Fixed-Point Multiplication». Computer Arithmetic and Verilog HDL Fundamentals (em inglês). [S.l.]: CRC Press. ISBN 978-1-351-83411-7
- Chakraverty, Snehashish; Rout, Saudamini (2022). Affine Arithmetic Based Solution of Uncertain Static and Dynamic Problems (em inglês). [S.l.]: Springer Nature. ISBN 978-3-031-02424-5
- Chemla, Karine; Keller, Agathe; Proust, Christine (2023). Cultures of Computation and Quantification in the Ancient World: Numbers, Measurements, and Operations in Documents from Mesopotamia, China and South Asia (em inglês). [S.l.]: Springer Nature. ISBN 978-3-030-98361-1
- Cignoni, Gioanni A.; Cossu, Giovanni A. (2016). «The Global Virtual Museum of Information Science & Technology, a Project Idea». In: Tatnall, Arthur; Leslie, Christopher. International Communities of Invention and Innovation: IFIP WG 9.7 International Conference on the History of Computing, HC 2016, Brooklyn, NY, USA, May 25-29, 2016, Revised Selected Papers (em inglês). [S.l.]: Springer. ISBN 978-3-319-49463-0
- Cohen, Joel S. (3 de janeiro de 2003). Computer Algebra and Symbolic Computation: Mathematical Methods (em inglês). [S.l.]: CRC Press. ISBN 978-1-4398-6370-1
- Colyvan, Mark (2023). «Indispensability Arguments in the Philosophy of Mathematics». The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab, Stanford University. Consultado em 20 de março de 2024
- Confrey, Jere (28 de junho de 1994). «Splitting, Similarity, and Rate of Change: A New Approach to Multiplication and Exponential Functions». In: Harel, Guershon; Confrey, Jere. The Development of Multiplicative Reasoning in the Learning of Mathematics (em inglês). [S.l.]: State University of New York Press. ISBN 978-1-4384-0580-3
- Conradie, Willem; Goranko, Valentin (2015). Logic and Discrete Mathematics: A Concise Introduction (em inglês). [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-76109-0
- Cryer, C. W. (2014). A Math Primer for Engineers (em inglês). [S.l.]: IOS Press. ISBN 978-1-61499-299-8
- Cunningham, Daniel W. (2016). Set Theory: A First Course (em inglês). [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 978-1-316-68204-3
- Curley, Robert (2011). Computing: From the Abacus to the iPad (em inglês). [S.l.]: Britannica Educational Publishing. ISBN 978-1-61530-707-4
- Cuyt, Annie A. M.; Petersen, Vigdis; Verdonk, Brigitte; Waadeland, Haakon; Jones, William B. (2008). Handbook of Continued Fractions for Special Functions (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4020-6949-9
- Davis, Andrew; Goulding, Maria; Suggate, Jennifer (2017). Mathematical Knowledge for Primary Teachers (em inglês). [S.l.]: Taylor & Francis. ISBN 978-1-317-21901-9
- De Cruz, Helen; Neth, Hansjörg; Schlimm, Dirk (2010). «The Cognitive Basis of Arithmetic». In: Löwe, Benedikt; Müller, Thomas. PhiMSAMP: Philosophy of Mathematics : Sociological Aspsects and Mathematical Practice (em inglês). [S.l.]: College Publications. ISBN 978-1-904987-95-6
- Dowker, Ann (27 de março de 2019). Individual Differences in Arithmetic: Implications for Psychology, Neuroscience and Education (em inglês). [S.l.]: Routledge. ISBN 978-1-317-62743-2
- Dreeben-Irimia, Olga (2010). Patient Education in Rehabilitation (em inglês). [S.l.]: Jones & Bartlett Publishers. ISBN 978-1-4496-1775-2
- Drosg, Manfred (2007). Dealing with Uncertainties. [S.l.]: Springer. ISBN 978-3-540-29606-5
- Duffy, Daniel J. (2018). Financial Instrument Pricing Using C++ (em inglês). [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 978-1-119-17048-8
- Duverney, Daniel (2010). Number Theory: An Elementary Introduction Through Diophantine Problems (em inglês). [S.l.]: World Scientific. ISBN 978-981-4307-46-8
- Ebby, Caroline B.; Hulbert, Elizabeth T.; Broadhead, Rachel M. (2020). A Focus on Addition and Subtraction: Bringing Mathematics Education Research to the Classroom (em inglês). [S.l.]: Routledge. ISBN 978-1-000-22087-2
- Emerson, Jane; Babtie, Patricia (2014). The Dyscalculia Solution: Teaching Number Sense (em inglês). [S.l.]: Bloomsbury Publishing. ISBN 978-1-4729-2099-7
- Eriksson, Kenneth; Estep, Donald; Johnson, Claes (2013). Applied Mathematics: Body and Soul: Volume 2: Integrals and Geometry in IRn (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-05798-8
- Farmer, William M. (1 de janeiro de 2023). Simple Type Theory: A Practical Logic for Expressing and Reasoning About Mathematical Ideas (em inglês). [S.l.]: Springer Nature. ISBN 978-3-031-21112-6
- Ferreiros, Jose (2013). Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics (em inglês). [S.l.]: Birkhäuser. ISBN 978-3-0348-5049-0
- Gallistel, C. R.; Gelman, R. (2005). «Mathematical Cognition». In: Holyoak, K. J.; Morrison, R. G. The Cambridge Handbook of Thinking and Reasoning. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-53101-6
- Geary, David C. (2006). «Development of Mathematical Understanding». In: Damon, William; Lerner, Richard M.; Kuhn, Deanna; Siegler, Robert S. Handbook of Child Psychology, Cognition, Perception, and Language (em inglês). [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-05054-5
- Gellert, W.; Hellwich, M.; Kästner, H.; Küstner, H. (2012). The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-011-6982-0
- Gerardi, Kristopher; Goette, Lorenz; Meier, Stephan (2013). «Numerical Ability Predicts Mortgage Default». Proceedings of the National Academy of Sciences. 110 (28): 11267–11271. Bibcode:2013PNAS..11011267G. PMC 3710828 . PMID 23798401. doi:10.1073/pnas.1220568110
- Goodstein, R. L. (2014). Fundamental Concepts of Mathematics (em inglês). [S.l.]: Elsevier. ISBN 978-1-4831-5405-3
- Grice, Matt; Kemp, Simon; Morton, Nicola J.; Grace, Randolph C. (2023). «The Psychological Scaffolding of Arithmetic». Psychological Review. 131 (2): 494–522. PMID 37358523 Verifique
|pmid=(ajuda). doi:10.1037/rev0000431 - Grigorieva, Ellina (2018). Methods of Solving Number Theory Problems (em inglês). [S.l.]: Birkhäuser. ISBN 978-3-319-90915-8
- Griffin, Carroll W. (1935). «Significant Figures». National Mathematics Magazine. 10 (1): 20–24. JSTOR 3028249. doi:10.2307/3028249
- Gupta, Rajesh Kumar (2019). Numerical Methods: Fundamentals and Applications (em inglês). [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-68660-0
- Hafstrom, John Edward (2013). Basic Concepts in Modern Mathematics (em inglês). [S.l.]: Courier Corporation. ISBN 978-0-486-31627-7
- Hamilton, Norman T.; Landin, Joseph (2018). Set Theory: The Structure of Arithmetic (em inglês). [S.l.]: Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-83047-6
- Hart, Roger (1 de janeiro de 2011). The Chinese Roots of Linear Algebra (em inglês). [S.l.]: JHU Press. ISBN 978-0-8018-9958-4
- Haylock, Derek; Cockburn, Anne D. (2008). Understanding Mathematics for Young Children: A Guide for Foundation Stage and Lower Primary Teachers (em inglês). [S.l.]: SAGE. ISBN 978-1-4462-0497-9
- HC staff (2022). «Numeral». American Heritage Dictionary. HarperCollins. Consultado em 11 de novembro de 2023
- HC staff (2022a). «Number System». American Heritage Dictionary. HarperCollins. Consultado em 11 de novembro de 2023
- HC staff (2022b). «Arithmetic». American Heritage Dictionary. HarperCollins. Consultado em 19 de outubro de 2023
- Higham, Nicholas (2002). Accuracy and Stability of Numerical Algorithms (PDF) 2nd ed. [S.l.]: SIAM. ISBN 978-0-89871-521-7. doi:10.1137/1.9780898718027
- Hindry, Marc (2011). Arithmetics. Col: Universitext. [S.l.]: Springer. ISBN 978-1-4471-2130-5. doi:10.1007/978-1-4471-2131-2
- Hodgkin, Luke (21 de fevereiro de 2013). A History of Mathematics: From Mesopotamia to Modernity (em inglês). [S.l.]: OUP Oxford. ISBN 978-0-19-166436-6
- Hoffman, Joe D.; Frankel, Steven (2018). Numerical Methods for Engineers and Scientists (em inglês). [S.l.]: CRC Press. ISBN 978-1-4822-7060-0
- Hofweber, Thomas (2016). «The Philosophy of Arithmetic». Ontology and the Ambitions of Metaphysics (em inglês). [S.l.]: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-876983-5
- Horsten, Leon (2023). «Philosophy of Mathematics». The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab, Stanford University. Consultado em 22 de novembro de 2023
- Hua, Jueming; Feng, Lisheng (2020). Thirty Great Inventions of China: From Millet Agriculture to Artemisinin (em inglês). [S.l.]: Springer Nature. ISBN 978-981-15-6525-0
- Husserl, Edmund; Willard, Dallas (2012). «Translator's Introduction». Philosophy of Arithmetic: Psychological and Logical Investigations with Supplementary Texts from 1887–1901 (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-010-0060-4
- Igarashi, Yoshihide; Altman, Tom; Funada, Mariko; Kamiyama, Barbara (2014). Computing: A Historical and Technical Perspective (em inglês). [S.l.]: CRC Press. ISBN 978-1-4822-2741-3
- International Organization for Standardization (2019). ISO 80000-2: 2019 Quantities and units Part 2: Mathematics (PDF). [S.l.]: International Organization for Standardization
- ITL Education Solutions Limited (2011). Introduction to Computer Science (em inglês). [S.l.]: Pearson Education India. ISBN 978-81-317-6030-7
- Jackson, Janna M. (2008). «Reading/Writing Connection». In: Flippo, Rona F. Handbook of College Reading and Study Strategy Research (em inglês). [S.l.]: Routledge. ISBN 978-1-135-70373-8
- Jena, Sisir Kumar (2021). C Programming: Learn to Code (em inglês). [S.l.]: CRC Press. ISBN 978-1-000-46056-8
- Kaiser, Sarah C.; Granade, Christopher (2021). Learn Quantum Computing with Python and Q#: A Hands-on Approach (em inglês). [S.l.]: Simon and Schuster. ISBN 978-1-61729-613-0
- Karatsuba, A. A. (2014). «Analytic Number Theory». Encyclopedia of Mathematics. Springer. Consultado em 23 de outubro de 2023
- Karatsuba, A. A. (2020). «Number Theory». Encyclopedia of Mathematics. Springer. Consultado em 23 de outubro de 2023
- Karlsson, Anders (2011). «Applications of Heat Kernels on Abelian Groups». In: Goldfeld, Dorian; Jorgenson, Jay; Jones, Peter; Ramakrishnan, Dinakar; Ribet, Kenneth; Tate, John. Number Theory, Analysis and Geometry: In Memory of Serge Lang (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4614-1259-5
- Kay, Anthony (2021). Number Systems: A Path into Rigorous Mathematics (em inglês). [S.l.]: CRC Press. ISBN 978-0-429-60776-9
- Khan, Khalid; Graham, Tony Lee (2018). Engineering Mathematics with Applications to Fire Engineering (em inglês). [S.l.]: CRC Press. ISBN 978-1-351-59761-6
- Khattar, Dinesh (2010). The Pearson Guide To Objective Arithmetic For Competitive Examinations, 3/E (em inglês). [S.l.]: Pearson Education India. ISBN 978-81-317-2673-0
- Khoury, Joseph; Lamothe, Gilles (12 de maio de 2016). Mathematics That Power Our World, The: How Is It Made? (em inglês). [S.l.]: World Scientific. ISBN 978-981-4730-86-0
- Klaf, A. Albert (30 de novembro de 2011). Trigonometry Refresher (em inglês). [S.l.]: Courier Corporation. ISBN 978-0-486-15104-5
- Klein, Elise; Moeller, Korbinian; Dressel, Katharina; Domahs, Frank; Wood, Guilherme; Willmes, Klaus; Nuerk, Hans-Christoph (2010). «To Carry or Not to Carry — Is This the Question? Disentangling the Carry Effect in Multi-digit Addition». Acta Psychologica. 135 (1): 67–76. PMID 20580340. doi:10.1016/j.actpsy.2010.06.002
- Klein, Andreas (2013). Stream Ciphers (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4471-5079-4
- Klein, Jacob (2013a). Greek Mathematical Thought and the Origin of Algebra (em inglês). [S.l.]: Courier Corporation. ISBN 978-0-486-31981-0
- Kleiner, Israel (2012). Excursions in the History of Mathematics (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-8268-2
- Klose, Orval M. (2014). The Number Systems and Operations of Arithmetic: An Explanation of the Fundamental Principles of Mathematics Which Underlie the Understanding and Use of Arithmetic, Designed for In-Service Training of Elementary School Teachers Candidates Service Training of Elementary School Teacher Candidates (em inglês). [S.l.]: Elsevier. ISBN 978-1-4831-3709-4
- Knobloch, Eberhard; Komatsu, Hikosaburo; Liu, Dun (13 de novembro de 2013). Seki, Founder of Modern Mathematics in Japan: A Commemoration on His Tercentenary (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 978-4-431-54273-5
- Koepf, Wolfram (2021). Computer Algebra: An Algorithm-Oriented Introduction (em inglês). [S.l.]: Springer Nature. ISBN 978-3-030-78017-3
- Koetsier, Teun (2018). The Ascent of GIM, the Global Intelligent Machine: A History of Production and Information Machines (em inglês). [S.l.]: Springer. ISBN 978-3-319-96547-5
- Koren, Israel (2018). Computer Arithmetic Algorithms (em inglês). [S.l.]: CRC Press. ISBN 978-1-4398-6371-8
- Körner, T. W. (24 de outubro de 2019). Where Do Numbers Come From? (em inglês). [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-77594-6
- Krenn, Stephan; Lorünser, Thomas (2023). An Introduction to Secret Sharing: A Systematic Overview and Guide for Protocol Selection (em inglês). [S.l.]: Springer Nature. ISBN 978-3-031-28161-7
- Kubilyus, I. P. (2018). «Number Theory, Probabilistic Methods in». Encyclopedia of Mathematics. Springer. Consultado em 23 de outubro de 2023
- Kudryavtsev, L. D. (2020). «Real Number». Encyclopedia of Mathematics. Springer. Consultado em 23 de outubro de 2023
- Kupferman, Raz (2015). Elementary School Mathematics For Parents And Teachers - Volume 1 (em inglês). [S.l.]: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4699-93-8
- Křížek, Michal; Somer, Lawrence; Šolcová, Alena (2021). From Great Discoveries in Number Theory to Applications (em inglês). [S.l.]: Springer Nature. ISBN 978-3-030-83899-7
- Lang, Serge (2002). «Taylor's Formula». Short Calculus: The Original Edition of "A First Course in Calculus". Col: Undergraduate Texts in Mathematics (em inglês). [S.l.]: Springer. pp. 195–210. ISBN 978-1-4613-0077-9. doi:10.1007/978-1-4613-0077-9_14
- Lang, Philippa (13 de outubro de 2015). Science: Antiquity and its Legacy (em inglês). [S.l.]: Bloomsbury Publishing. ISBN 978-0-85773-955-1
- Lange, Kenneth (2010). Numerical Analysis for Statisticians (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4419-5944-7
- Laski, Elida V.; Jor’dan, Jamilah R.; Daoust, Carolyn; Murray, Angela K. (2015). «What Makes Mathematics Manipulatives Effective? Lessons From Cognitive Science and Montessori Education». SAGE Open. 5 (2). doi:10.1177/2158244015589588 . hdl:1808/20642
- Lerner, Brenda Wilmoth; Lerner, K. Lee, eds. (2008). «Modular Arithmetic». The Gale Encyclopedia of Science 4th ed. [S.l.]: Thompson Gale. ISBN 978-1-4144-2877-2
- Li, Yeping; Schoenfeld, Alan H. (2019). «Problematizing Teaching and Learning Mathematics as 'Given' in STEM Education». International Journal of STEM Education. 6 (1). doi:10.1186/s40594-019-0197-9
- Liebler, Robert A. (2018). Basic Matrix Algebra with Algorithms and Applications (em inglês). [S.l.]: CRC Press. ISBN 978-0-429-85287-9
- Lockhart, Paul (2017). Arithmetic. [S.l.]: The Belknap Press of Harvard University Press. ISBN 978-0-674-97223-0
- Lozano-Robledo, Álvaro (2019). Number Theory and Geometry: An Introduction to Arithmetic Geometry (em inglês). [S.l.]: American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-5016-8
- Luderer, Bernd; Nollau, Volker; Vetters, Klaus (2013). Mathematical Formulas for Economists (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-12431-4
- Lützen, Jesper (2023). A History of Mathematical Impossibility (em inglês). [S.l.]: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-286739-1
- Lustick, David (1997). «The Numbers Game: Playing up the importance of significant figures and scientific notation». The Science Teacher. 64 (5): 16–18. JSTOR 24152064
- Ma, Liping (2020). Knowing and Teaching Elementary Mathematics: Teachers' Understanding of Fundamental Mathematics in China and the United States (em inglês). [S.l.]: Routledge. ISBN 978-1-000-02734-1
- Madden, Daniel J.; Aubrey, Jason A. (2017). An Introduction to Proof Through Real Analysis (em inglês). [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 978-1-119-31472-1
- Mahajan, Sanjoy (2010). Street-Fighting Mathematics: The Art of Educated Guessing and Opportunistic Problem Solving (em inglês). [S.l.]: MIT Press. ISBN 978-0-262-26559-1
- Marcus, Russell; McEvoy, Mark (2016). An Historical Introduction to the Philosophy of Mathematics: A Reader (em inglês). [S.l.]: Bloomsbury Publishing. ISBN 978-1-4725-3291-6
- Mazumder, Pinaki; Ebong, Idongesit E. (2023). Lectures on Digital Design Principles (em inglês). [S.l.]: CRC Press. ISBN 978-1-000-92194-6
- Mazzola, Guerino; Milmeister, Gérard; Weissmann, Jody (2004). Comprehensive Mathematics For Computer Scientists 1: Sets And Numbers, Graphs And Algebra, Logic And Machines, Linear Geometry (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-20835-8
- Meyer, Carl D. (2023). Matrix Analysis and Applied Linear Algebra: Second Edition (em inglês). [S.l.]: SIAM. ISBN 978-1-61197-744-8
- Monahan, John F. (2012). «2. Basic Computational Algorithms». In: Gentle, James E.; Härdle, Wolfgang Karl; Mori, Yuichi. Handbook of Computational Statistics: Concepts and Methods (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-21551-3
- Moncayo, Raul (2018). Lalangue, Sinthome, Jouissance, and Nomination: A Reading Companion and Commentary on Lacan's Seminar XXIII on the Sinthome (em inglês). [S.l.]: Routledge. ISBN 978-0-429-91554-3
- Mooney, Claire; Briggs, Mary; Hansen, Alice; McCullouch, Judith; Fletcher, Mike (2014). Primary Mathematics: Teaching Theory and Practice (em inglês). [S.l.]: Learning Matters. ISBN 978-1-4739-0707-2
- Moore, Ramon E.; Kearfott, R. Baker; Cloud, Michael J. (2009). Introduction to Interval Analysis (em inglês). [S.l.]: SIAM. ISBN 978-0-89871-669-6
- Muller, Jean-Michel; Brisebarre, Nicolas; Dinechin, Florent de; Jeannerod, Claude-Pierre; Lefèvre, Vincent; Melquiond, Guillaume; Revol, Nathalie; Stehlé, Damien; Torres, Serge (2009). Handbook of Floating-Point Arithmetic (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-4705-6
- Muller, Jean-Michel; Brunie, Nicolas; Dinechin, Florent de; Jeannerod, Claude-Pierre; Joldes, Mioara; Lefèvre, Vincent; Melquiond, Guillaume; Revol, Nathalie; Torres, Serge (2018). Handbook of Floating-Point Arithmetic (em inglês). [S.l.]: Birkhäuser. ISBN 978-3-319-76526-6
- Musser, Gary L.; Peterson, Blake E.; Burger, William F. (2013). Mathematics for Elementary Teachers: A Contemporary Approach (em inglês). [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-48700-6
- MW staff (2023). «Definition of Arithmetic». www.merriam-webster.com (em inglês). Consultado em 19 de outubro de 2023
- Nagel, Rob (2002). U-X-L Encyclopedia of Science (em inglês). [S.l.]: U-X-L. ISBN 978-0-7876-5440-5
- Nagel, Ernest; Newman, James Roy (2008). Godel's Proof (em inglês). [S.l.]: NYU Press. ISBN 978-0-8147-5837-3
- Nakov, Svetlin; Kolev, Veselin (2013). Fundamentals of Computer Programming with C#: The Bulgarian C# Book (em inglês). [S.l.]: Faber Publishing. ISBN 978-954-400-773-7
- NCTM Staff. «Number and Operations». www.nctm.org. National Council of Teachers of Mathematics. Consultado em 21 de novembro de 2023
- Nelson, Gerald (2019). English: An Essential Grammar (em inglês). [S.l.]: Routledge. ISBN 978-1-351-12273-3
- Null, Linda; Lobur, Julia (2006). The Essentials of Computer Organization and Architecture (em inglês). [S.l.]: Jones & Bartlett Learning. ISBN 978-0-7637-3769-6
- Nurnberger-Haag, Julie (2017). «Borrow, Trade, Regroup, or Unpack? Revealing How Instructional Metaphors Portray Base-Ten Number». In: Jao, Limin; Radakovic, Nenad. Transdisciplinarity in Mathematics Education: Blurring Disciplinary Boundaries (em inglês). [S.l.]: Springer. ISBN 978-3-319-63624-5
- O'Leary, Michael L. (2015). A First Course in Mathematical Logic and Set Theory (em inglês). [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-90588-3
- O'Regan, Gerard (5 de março de 2012). A Brief History of Computing (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4471-2359-0
- Oakes, Elizabeth (2020). Encyclopedia of World Scientists, Updated Edition (em inglês). [S.l.]: Infobase Publishing. ISBN 978-1-4381-9545-2
- Odom, Samuel L.; Barbarin, Oscar A.; Wasik, Barbara Hanna (2009). «Applying Lessons from Developmental Science to Early Education». In: Barbarin, Oscar A.; Wasik, Barbara Hanna. Handbook of Child Development and Early Education: Research to Practice (em inglês). [S.l.]: Guilford Press. ISBN 978-1-60623-302-3
- Oliver, Alexander D. (2005). «Arithmetic, Foundations of». In: Honderich, Ted. The Oxford Companion to Philosophy. [S.l.]: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-926479-7
- Omondi, Amos R. (2020). Cryptography Arithmetic: Algorithms and Hardware Architectures (em inglês). [S.l.]: Springer Nature. ISBN 978-3-030-34142-8
- Ongley, John; Carey, Rosalind (2013). Russell: A Guide for the Perplexed (em inglês). [S.l.]: Bloomsbury Publishing. ISBN 978-1-4411-9123-6
- Ore, Oystein (1948). Number Theory and Its History (em inglês). [S.l.]: McGraw-Hill. ISBN 978-0-486-65620-5. OCLC 1397541
- Orr, David B. (1995). Fundamentals of Applied Statistics and Surveys (em inglês). [S.l.]: CRC Press. ISBN 978-0-412-98821-9
- Otis, Jessica Marie (2024). By the Numbers: Numeracy, Religion, and the Quantitative Transformation of Early Modern England (em inglês). [S.l.]: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-760877-7
- Paar, Christof; Pelzl, Jan (2009). Understanding Cryptography: A Textbook for Students and Practitioners (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-04101-3
- Page, Robert L. (2003). «Number Theory, Elementary». Encyclopedia of Physical Science and Technology Third ed. [S.l.]: Academic Press. ISBN 978-0-12-227410-7
- Payne, Andrew (2017). The Teleology of Action in Plato's Republic (em inglês). [S.l.]: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-879902-3
- Peirce, Charles S. (2015). Arithmetic (em inglês). [S.l.]: Walter de Gruyter GmbH & Co KG. ISBN 978-3-11-086970-5
- Pharr, Matt; Jakob, Wenzel; Humphreys, Greg (2023). Physically Based Rendering: From Theory to Implementation (em inglês) 4 ed. [S.l.]: MIT Press. ISBN 978-0-262-37403-3
- Pomerance, Carl (2010). «IV.3 Computational Number Theory» (PDF). In: Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre. The Princeton Companion to Mathematics. [S.l.]: Princeton University Press. pp. 348–362. ISBN 978-1-4008-3039-8
- Pomerance, C.; Sárközy, A. (11 de dezembro de 1995). «Combinatorial Number Theory». In: Graham, R. L. Handbook of Combinatorics (em inglês). [S.l.]: Elsevier. ISBN 978-0-08-093384-9
- Ponticorvo, Michela; Schmbri, Massimiliano; Miglino, Orazio (2019). «How to Improve Spatial and Numerical Cognition with a Game-Based and Technology-Enhanced Learning Approach». In: Vicente, José Manuel Ferrández; Álvarez-Sánchez, José Ramón; López, Félix de la Paz; Moreo, Javier Toledo; Adeli, Hojjat. Understanding the Brain Function and Emotions: 8th International Work-Conference on the Interplay Between Natural and Artificial Computation, IWINAC 2019, Almería, Spain, June 3–7, 2019, Proceedings, Part I (em inglês). [S.l.]: Springer. ISBN 978-3-030-19591-5
- Prata, Stephen (2002). C Primer Plus (em inglês). [S.l.]: Sams Publishing. ISBN 978-0-672-32222-8
- Quintero, Ana Helvia; Rosario, Hector (2016). Math Makes Sense!: A Constructivist Approach To The Teaching And Learning Of Mathematics (em inglês). [S.l.]: World Scientific. ISBN 978-1-78326-866-5
- Rajan, Hridesh (2022). An Experiential Introduction to Principles of Programming Languages (em inglês). [S.l.]: MIT Press. ISBN 978-0-262-36243-6
- Reilly, Norman R. (2009). Introduction to Applied Algebraic Systems (em inglês). [S.l.]: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-970992-2
- Reitano, Robert R. (2010). Introduction to Quantitative Finance: A Math Tool Kit (em inglês). [S.l.]: MIT Press. ISBN 978-0-262-01369-7
- Resnick, L. B.; Ford, W. W. (2012). Psychology of Mathematics for Instruction (em inglês). [S.l.]: Routledge. ISBN 978-1-136-55759-0
- Reynolds, Barbara E. (12 de março de 2008). «Abacus». In: Selin, Helaine. Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4020-4559-2
- Riesel, Hans (2012). Prime Numbers and Computer Methods for Factorization (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-0251-6
- Rising, Gerald R.; Matthews, James R.; Schoaff, Eileen; Matthew, Judith (2021). About Mathematics (em inglês). [S.l.]: Linus Learning. ISBN 978-1-60797-892-3
- Robbins, Neville (2006). Beginning Number Theory (em inglês). [S.l.]: Jones & Bartlett Learning. ISBN 978-0-7637-3768-9
- Rodda, Harvey J. E.; Little, Max A. (2015). Understanding Mathematical and Statistical Techniques in Hydrology: An Examples-based Approach (em inglês). [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 978-1-119-07659-9
- Roe, John; deForest, Russ; Jamshidi, Sara (2018). Mathematics for Sustainability (em inglês). [S.l.]: Springer. ISBN 978-3-319-76660-7
- Romanowski, Perry (2008). «Arithmetic». In: Lerner, Brenda Wilmoth; Lerner, K. Lee. The Gale Encyclopedia of Science 4th ed. [S.l.]: Thompson Gale. ISBN 978-1-4144-2877-2
- Rooney, Anne (2021). Think Like a Mathematician (em inglês). [S.l.]: The Rosen Publishing Group. ISBN 978-1-4994-7092-5
- Rossi, Richard J. (2011). Theorems, Corollaries, Lemmas, and Methods of Proof (em inglês). [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-03057-8
- Ruthven, Kenneth (2012). «12. Calculators in the Mathematics Curriculum: The Scope of Personal Computational Technology». In: Bishop, Alan; Clements, M. A. (Ken); Keitel-Kreidt, Christine; Kilpatrick, Jeremy; Laborde, Colette. International Handbook of Mathematics Education (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-009-1465-0
- Sally, Judith D.; Sally (Jr.), Paul J. (2012). Integers, Fractions, and Arithmetic: A Guide for Teachers (em inglês). [S.l.]: American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-8798-1
- Seaman, William; Rossler, Otto E.; Burgin, Mark (2023). Chaos, Information, And The Future Of Physics: The Seaman-rossler Dialogue With Information Perspectives By Burgin And Seaman (em inglês). [S.l.]: World Scientific. ISBN 978-981-12-7138-0
- Shiva, Sajjan G. (2018). Introduction to Logic Design (em inglês). [S.l.]: CRC Press. ISBN 978-1-351-98983-1
- Sierpinska, Anna; Lerman, Stephen (1996). «Epistemologies of Mathematics and of Mathematics Education». In: Alan J. Bishop; Ken Clements; Christine Keitel; Jeremy Kilpatrick; Colette Laborde. International Handbook of Mathematics Education: Part 1. Col: Kluwer International Handbooks of Education, vol. 4 (em inglês). [S.l.]: Springer Netherlands. pp. 827–876. ISBN 978-94-009-1465-0. doi:10.1007/978-94-009-1465-0_23
- Smith, David E. (1958). History of Mathematics (em inglês). [S.l.]: Courier Corporation. ISBN 978-0-486-20430-7
- Smyth, William (1864). Elementary Algebra: For Schools and Academies (em inglês). [S.l.]: Bailey and Noyes. OCLC 3901163143
- Sophian, Catherine (2017). The Origins of Mathematical Knowledge in Childhood (em inglês). [S.l.]: Routledge. ISBN 978-1-351-54175-6
- Sperling, Abraham; Stuart, Monroe (1981). Mathematics. [S.l.]: Elsevier Science. ISBN 978-0-7506-0405-5
- Stakhov, Alexey (2020). Mathematics Of Harmony As A New Interdisciplinary Direction And 'Golden' Paradigm Of Modern Science - Volume 2: Algorithmic Measurement Theory, Fibonacci And Golden Arithmetic's And Ternary Mirror-symmetrical Arithmetic (em inglês). [S.l.]: World Scientific. ISBN 978-981-12-1348-9
- Sternberg, Robert J.; Ben-Zeev, Talia (12 de outubro de 2012). The Nature of Mathematical Thinking (em inglês). [S.l.]: Routledge. ISBN 978-1-136-48750-7
- Stevenson, Angus; Waite, Maurice (2011). Concise Oxford English Dictionary: Luxury Edition (em inglês). [S.l.]: OUP Oxford. ISBN 978-0-19-960111-0
- Stewart, David E. (2022). Numerical Analysis: A Graduate Course (em inglês). [S.l.]: Springer Nature. ISBN 978-3-031-08121-7
- Strathern, Paul (31 de outubro de 2012). Turing And The Computer (em inglês). [S.l.]: Random House. ISBN 978-1-4481-0656-1
- Swanson, Irena (18 de fevereiro de 2021). Introduction To Analysis With Complex Numbers (em inglês). [S.l.]: World Scientific. ISBN 978-981-12-2587-1
- Swartzlander, Earl E. (2017). «High-Speed Computer Arithmetic». In: Oklobdzija, Vojin G. Digital Design and Fabrication (em inglês). [S.l.]: CRC Press. ISBN 978-0-8493-8604-6
- Tarasov, Vasily (2008). Quantum Mechanics of Non-Hamiltonian and Dissipative Systems (em inglês). [S.l.]: Elsevier. ISBN 978-0-08-055971-1
- Taylor, Joseph L. (2012). Foundations of Analysis (em inglês). [S.l.]: American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-8984-8
- Thiam, Thierno; Rochon, Gilbert (2019). Sustainability, Emerging Technologies, and Pan-Africanism (em inglês). [S.l.]: Springer Nature. ISBN 978-3-030-22180-5
- Tiles, Mary (2009). «A Kantian Perspective on the Philosophy of Mathematics». In: Irvine, Andrew D. Philosophy of Mathematics (em inglês). [S.l.]: Elsevier. ISBN 978-0-08-093058-9
- Uspenskii, V. A.; Semenov, A. L. (2001). «Solvable and Unsolvable Algorithmic Problems». In: Tabachnikov, Serge. Kvant Selecta: Combinatorics, I: Combinatorics, I (em inglês). [S.l.]: American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-2171-8
- Vaccaro, Alfredo; Pepiciello, Antonio (2022). Affine Arithmetic-Based Methods for Uncertain Power System Analysis (em inglês). [S.l.]: Elsevier. ISBN 978-0-323-90503-9
- Verschaffel, Lieven; Torbeyns, Joke; De Smedt, Bert (2011). «Mental Arithmetic». In: Seel, Norbert M. Encyclopedia of the Sciences of Learning (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4419-1427-9
- Victoria Department of Education Staff (2023). «Numeracy for All Learners». www.education.vic.gov.au (em inglês). Consultado em 22 de novembro de 2023
- Vinogradov, A. I. (2019). «Algebraic Number Theory». Encyclopedia of Mathematics. Springer. Consultado em 23 de outubro de 2023
- Vullo, Vincenzo (2020). Gears: Volume 3: A Concise History (em inglês). [S.l.]: Springer Nature. ISBN 978-3-030-40164-1
- Waite, Maurice (2013). Pocket Oxford English Dictionary (em inglês). [S.l.]: OUP Oxford. ISBN 978-0-19-966615-7
- Wallis, W. D. (2011). A Beginner's Guide to Discrete Mathematics (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-8286-6
- Wallis, W. D. (2013). A Beginner's Guide to Discrete Mathematics (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-3826-1
- Wang, Hao (1997). A Logical Journey: From Gödel to Philosophy (em inglês). [S.l.]: MIT Press. ISBN 978-0-262-26125-8
- Ward, J. P. (2012). Quaternions and Cayley Numbers: Algebra and Applications (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-011-5768-1
- Wedell, Moritz (2015). «Numbers». In: Classen, Albrecht. Handbook of Medieval Culture. Volume 2 (em inglês). [S.l.]: Walter de Gruyter GmbH & Co KG. ISBN 978-3-11-037763-7
- Weil, André (2009). Number Theory: An Approach Through History From Hammurapi to Legendre (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-4571-7
- Weir, Alan (2022). «Formalism in the Philosophy of Mathematics». The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab, Stanford University. Consultado em 22 de novembro de 2023
- Wheater, Carolyn (2015). Algebra I (em inglês). [S.l.]: Dorling Kindersley Limited. ISBN 978-0-241-88779-0
- Wilson, Robin (2020). Number Theory: A Very Short Introduction (em inglês). [S.l.]: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-879809-5
- Wright, Robert J.; Ellemor-Collins, David; Tabor, Pamela D. (2011). Developing Number Knowledge: Assessment, Teaching and Intervention with 7-11 Year Olds (em inglês). [S.l.]: SAGE. ISBN 978-1-4462-8927-3
- Xu, Zhiwei; Zhang, Jialin (1 de janeiro de 2022). Computational Thinking: A Perspective on Computer Science (em inglês). [S.l.]: Springer Nature. ISBN 978-981-16-3848-0
- Yadin, Aharon (2016). Computer Systems Architecture (em inglês). [S.l.]: CRC Press. ISBN 978-1-315-35592-4
- Yan, Song Y. (2002). Number Theory for Computing (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-07710-4
- Yan, Song Y. (2013a). Computational Number Theory and Modern Cryptography (em inglês). [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-18858-3
- Young, Cynthia Y. (2010). Precalculus (em inglês). [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-75684-2
- Young, Cynthia Y. (2021). Algebra and Trigonometry (em inglês). [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 978-1-119-77830-1
- Zhang, G. (6 de dezembro de 2012). Logic of Domains (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-0445-9
