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A aritmetização da análise foi um programa de pesquisa em fundamentos de matemática realizado na segunda metade do século XIX que visava abolir toda intuição geométrica das demonstrações em análise.[1] Para os seguidores desse programa, os conceitos fundamentais do cálculo também não deveriam fazer referências às ideias de movimento e velocidade.[2] Este ideal foi perseguido por Augustin-Louis Cauchy, Bernard Bolzano, Karl Weierstrass, entre outros, que consideravam que o cálculo de Isaac Newton carecia de rigor.[3]

Bernard Bolzano (1781-1848) foi um matemático, teólogo e filósofo de língua alemã nascido em Praga, na Bohemia, hoje capital da República Tcheca. Sua obra se insere no contexto das grandes transformações por que passaram a matemática e a filosofia no século XIX, em particular com o movimento de aritmetização que transformou a matemática e com a tendência da filosofia a passar de uma abordagem epistemológica, centrada no sujeito cognoscente e num discurso mental e intuitivo que caracterizou o período que vai do cartesianismo ao kantismo, chamado por Foucault (2007) de "época das representações" para uma abordagem semântica. Esta última se caracteriza por ser centrada na necessidade de criação e explicitação de conceitos, de uma revalorização da lógica e nas necessidades de um discurso explícito e público.[4]

A passagem conceitual de uma geometria/física da continuidade para uma aritmética da continuidade, constitui um dos componentes metodológicos do processo de aritmetização da análise, já é um pré-anúncio teórico da ruptura epistemológica que estabelece a aceitação dos números reais como fundamento da Análise na Reta.

O processo de aritmetização da análise, consiste em fundamentar a Análise na Reta na teoria dos números naturais (o que se estende para a análise de funções de várias variáveis, de funções complexas, à teoria das equações diferenciais, à geometria diferencial e até às próprias geometrias euclidiana e não-euclidianas). Esse processo reconstrói geneticamente os números inteiros a partir dos naturais, os racionais a partir dos inteiros, e finalmente os reais a partir dos racionais, sendo que esta última etapa pode ser realizada utilizando-se o método das sequências de Cauchy, ou dos cortes de Dedekind, ou dos intervalos encaixantes, etc. A análise matemática baseada nesses números é chamada hoje de análise real, clássica ou standard. O processo da aritmetização da análise foi, então, um fator importante e determinante na constituição da análise matemática clássica.[5]

RecepçãoEditar

Em 1899, o matemático americano James Pierpont a descreveu da seguinte forma:

"Nós todos estamos cientes de um movimento entre nós que Klein muito apropriadamente denominou de aritmetização da análise. Poucos de nós têm muita apreciação sincera por ela, se é que a compreendemos. Parece uma inútil perda de tempo provar pelos trabalhosos métodos ε e δ aquilo que os métodos antigos provam tão satisfatoriamente em poucas palavras. De fato, muitas das coisas que exercitam as mentes daqueles cujos olhos foram abertos na escola de [[Karl Weierstrass|Weierstrass].cem meras manias aos de fora. Do mesmo modo que tentar provar que dois mais dois é igual a quatro!"[6]

Leitura adicionalEditar

  • Torina Dechaune Lewis (2006). The Arithmetization of Analysis: From Eudoxus to Dedekind, Ed. Southern University.

Referências

  1. Antonio Zumpano - Paradoxos do Infinito
  2. Arithmetization of analysis. Encyclopedia of Mathematics. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Arithmetization_of_analysis&oldid=32242
  3. Stanford Encyclopedia of Philosophy - Dedekind's Contributions to the Foundations of Mathematics
  4. Clímaco, Humberto (29 de setembro de 2013). «Bolzano, a formação da Matemática Pura e a aritmetização da Matemática» (PDF). 36ª Reunião Nacional da ANPEd, Goiânia-GO 
  5. Cifuentes, José (4 de setembro de 2014). «ANÁLISE REAL: CONTRIBUIÇÕES PARA A FORMAÇÃO CONCEITUAL DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA SOBRE OS NÚMEROS REAIS E A ANÁLISE MATEMÁTICA» (PDF). XII EPREM – Encontro Paranaense de Educação Matemática, Campo Mourão.  line feed character character in |titulo= at position 35 (ajuda)
  6. Pierpont : On the arithmetization of mathematics