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Automorfismo

isomorfismo de um objeto matemático nele mesmo
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Na matemática, um automorfismo é um isomorfismo de um objeto matemático nele mesmo. Em certo sentido, o automorfismo é uma simetria do objeto, ou uma forma de mapear o objeto nele mesmo mantendo a sua estrutura. Normalmente, o conjunto dos automorfismos de um objeto nele mesmo forma um grupo, chamado de grupo dos automorfismos, que pode ser chamado de grupo de simetria do objeto.

Índice

DefiniçãoEditar

A definição exata de um automorfismo depende do tipo de "objeto matemático" em questão e o que, precisamente, constitui um "isomorfismo" desse objeto. A definição mais geral em que estas palavras têm um significado abstrato é um ramo da matemática chamado teoria das categorias. A teoria das categorias lida com objetos abstratos e morfismos entre esses objetos[1][2].

Na teoria da categoria, um automorfismo é um endomorfismo (ou seja, um morfismo de um objeto para si mesmo) que é também um isomorfismo (no sentido categórico da palavra).

Esta é uma definição muito abstrata, pois, em teoria das categorias, morfismos não são necessariamente funções e objetos não são necessariamente conjuntos. Na maioria das situações concretas, no entanto, os objetos serão conjuntos com alguma estrutura adicional e os morfismos serão funções preservando essa estrutura.

No contexto da álgebra abstrata, por exemplo, um objeto matemático é uma estrutura algébrica como um grupo, anel ou espaço vetorial[3]. Um isomorfismo é simplesmente um homomorfismo bijetivo. (É claro que a definição de um homomorfismo depende do tipo de estrutura algébrica; ver, por exemplo: homomorfismo de grupos, homomorfismo de anéis e transformação linear).

O morfismo identidade (mapeamento identidade) é chamado de automorfismo trivial em alguns contextos. Respectivamente, outros automorfismos (não-identidade) são chamados de automorfismo não triviais.

Grupo de automorfismoEditar

Se os automorfismos de um objeto X formam um conjunto (em vez de uma classe própria), então eles formam um grupo sob a composição de morfismos. Esse grupo é chamado de grupo de automorfismo de X. Que este é realmente um grupo é fácil de ver:

  • Fechamento: composição de dois endomorfismos é outro endomorfismo.
  • Associatividade: composição de morfismos é sempre associativa.
  • Identidade: A identidade é o morfismo identidade de um objeto para si mesmo que existe por definição.
  • Inversos: por definição, cada isomorfismo tem um inverso que também é um isomorfismo, e desde que o inverso também é um endomorfismo do mesmo objeto é um automorfismo.

O grupo de automorfismo de um objecto X em uma categoria C é denotado AutC(X), ou simplesmente Aut(X) se a categoria está clara pelo contexto.

ExemplosEditar

HistóriaEditar

Um dos primeiros automorfismos de grupo (automorfismo de um grupo, não simplesmente um grupo de automorfismos de pontos) foi dado pelo matemático irlandês William Rowan Hamilton em 1856, no seu Cálculo Icosiano, onde ele descobre um automorfismo de ordem dois,[7] escrevendo:

de modo que   é uma nova raiz quinta da unidade, conectada à antiga raiz quinta   por relações de perfeita reciprocidade.

Automorfismos Externos e InternosEditar

Em algumas categorias — notavelmente grupos, anéis, e álgebra de Lie — é possível separar automorfismos em dois tipos, chamados de automorfismos "internos" e "externos".

No caso de grupos, os automorfismos internos são as conjugações pelos elementos do próprio grupo. Para cada elemento a de um grupo G, conjugação por a é a operação φa : G → G dado por φa(g) = aga−1 (ou a−1ga; o uso varia). Pode-se verificar facilmente essa conjugação se a é um automorfismo de grupo. O automorfismo interno forma um subgrupo normal de Aut(G), denotado por Inn(G); isso é chamado de lema de Goursat.

Os outros automorfismos são chamados de automorfismos externos. O grupo quociente Aut(G) / Inn(G) é usualmente denotado por Out(G); os elementos não-triviais são as coclasses que contém o automorfismo externo.

A mesma definição segue em qualquer unital anéis ou álgebra onde a é qualquer elemento inversível. Para a álgebra de Lie, a definição é ligeiramente diferente.

Ver tambémEditar

Referências

  1. Pierce, Benjamin C. (1991). Basic Category Theory for Computer Scientists (em inglês). Cambridge, Massachusetts: MIT Press. p. 1. ISBN 0-262-66071-7 
  2. MENESES, Paulo Blauth; HAEUSLER, Edward Hermann (1991). Teoria das Categorias para Ciência da Computação (em inglês). Porto Alegre: Sagra Luzzato. p. 53-54. ISBN 85-241-0662-X 
  3. DOMINGUES, Hygino H.;IEZZI, Gelson (1976). Introdução à Algebra. [S.l.]: Atual Editora 
  4. FONSECA, Daila Silva Seabra de Moura. «Grupos e seus automorfismos» (PDF). Consultado em 4 de novembro de 2010 
  5. PAHL, PJ; DAMRATH, R (2001). «§7.5.5 Automorphisms». Mathematical foundations of computational engineering Felix Pahl translaton ed. [S.l.]: Springer. p. 376. ISBN 3540679952 
  6. Yale, Paul B. (1966). «Automorphisms of the Complex Numbers» (PDF). Mathematics Magazine. 39 (3): 135–141. JSTOR 2689301. doi:10.2307/2689301 
  7. Sir William Rowan Hamilton (1856). «Memorandum respecting a new System of Roots of Unity» (PDF). Philosophical Magazine. 12. 446 páginas 
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