Cálculo com múltiplas variáveis

Cálculo com múltiplas variáveis (também conhecido como cálculo multivariável) é a extensão do cálculo em uma variável ao cálculo em diversas variáveis: as funções as quais são diferenciáveis e integráveis envolvem várias variáveis ao invés de uma única variável.

Não é mais que a extensão do cálculo infinitesimal a funções escalares e vetoriais de várias variáveis, com tudo o que esta generalização implica.

Campo escalar com duas variáveis.

Cálculo diferencial em campos escalares e vetoriaisEditar

Funções de Rn em Rm. Campos escalares e vetoriaisEditar

Formulando as definições para campos vetoriais, estas também sendo válidas para campos escalares. Seja

 

um campo vetorial que faz corresponder a todo ponto P definido biunivocamente por sua vetor posição um vetor   onde o ponto O é a origem de coordenadas.

  com   e  . Quando   temos um campo escalar. Para   temos um campo vetorial. Utiliza-se a norma euclidiana para encontrar a magnitude dos vetores.

Limites e continuidadeEditar

Sejam   e   Escrevemos:

 ,
ou ainda,
  cuando  
para expressar o seguinte:
 

onde   é a norma euclideana de  .

Expresando-o em função das componentes de  

 

ou, de forma equivalente,

 

Dizemos que uma função   é contínua em  .

 

a)  
b)  
c)  
(produto escalar de   com  ).
d)  

Sabemos que a) e b) no teorema se verificam se   e   são funções escalares. Portanto, se

  temos
 
 
 
Aplicando a desigualdade triangular e a desigualdade de Cauchy-Schwarz temos
 
, como queríamos demonstrar.
 , como queríamos demonstrar.

Sejam   e   duas funções tais que a função composta   está definida em  , sendo

 
  é contínua em   e   é contínua em   é contínua em  .

Sejam   e  . Então,

 
como queríamos demostrar.

Derivadas direcionaisEditar

Derivada de um campo escalar em relação a um vetorEditar

Seja  . Seja   um vetor cuja origem é a origem das coordenadas e cujo extremo   e   um vetor arbitrário de  . Definimos a derivada de f em   em relação a   como

 

Derivadas parciaisEditar

 

Se derivamos a expressão anterior em relação a uma segunda variável,  , teremos  . Na prática, calcularemos   derivando em relação a   e supondo   constante.

A diferencialEditar

Definição de campo escalar diferenciávelEditar

Dizemos que f é diferenciável em  

 .
  deve ser uma aplicação linear, que definimos como a diferencial de f em a.
A equação anterior é a fórmula de Taylor de primeira ordem para  .

Teorema de unicidade da diferencialEditar

  é diferenciável em   com diferencial  

a)  
b)  

 

como queríamos demonstrar.
   Expressando   em função de seus componentes na base
 
como queríamos demonstrar.

Regra da cadeiaEditar

Seja   um campo escalar e  . Definimos a função composta   como  , então  

Diferencial de um campo vetorialEditar

Seja   um campo vetorial. Seja   e   um vetor qualquer. Definimos a derivada

 

Expressando   em função de seus componentes, temos  

Dizemos que   é diferenciável  , aplicação linear que verifica:

 .
Esta é a fórmula de Taylor de primeira ordem para  .

A matriz de   é sua matriz jacobiana.

Diferenciabilidade implica continuidadeEditar

Se um campo vetorial   é diferenciável em   é contínuo em  .

Se deduze facilmente da fórmula de Taylor de primeira ordem já vista.

Regra da cadeia para diferenciais de campos vetoriaisEditar

Seja   um campo vetorial definido e diferenciável em  . Sua diferencial   resulta ser

 

Condição suficiente para a igualdade das derivadas parciais mistasEditar

  ambas derivadas parciais existem e são contínuas em  .

Aplicações do cálculo diferencialEditar

Cálculo de máximos, mínimos e "pontos de sela" para campos escalaresEditar

Um campo escalar tem um máximo em   existe uma n-esfera  

Um campo escalar tem um mínimo em   existe uma n-esfera  

Um campo escalar tem um ponto de sela  

 .
 
Função com um ponto de sela.

Para saber se é um dos casos anteriores:

  1. Obtemos  
  2. Obtemos a matriz hessiana de f. Seja esta  .
    1.   é definida positiva   tem um mínimo local (mínimo relativo) em  .
    2.   é definida negativa   tem um máximo local (máximo relativo) em  .
    3.   é indefinida   tem um ponto de sela em  .

No exposto anteriormente, supomos que   é contínua  

Ver tambémEditar

Referências

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