Categoria (teoria das categorias)

estrutura em matemática

A teoria das categorias é um estudo matemático abstrato de estruturas matemáticas e as relações existentes entre elas. Categoria é uma estrutura formada por objetos e morfismos que é estudada em Teoria das categorias.

DefiniçãoEditar

Uma categoria consiste nos seguintes elementos:

  • Uma classe de objetos  
  • Para cada par de objetos  , uma classe de morfismos (ou setas) de   para  , denotados por   (e neste caso se diz que   é o objeto origem e   é o objeto destino da seta);
  • Uma operação chamada identidade,  , que associa a cada objeto   um morfismo   que tem origem e destino em  ;
  • Uma operação de composição que associa a cada par de morfismos   e   um morfismo   chamado morfismo composto de   e  , tais que os seguintes axiomas são satisfeitos:
    • (associatividade) Sejam  ,   e  . Então  ;
    • (identidade) O morfismo identidade ida satisfaz, para todos morfismos   e  ,   e  .

Exemplos de categoriasEditar

  • A categoria dos conjuntos, denotada por Set ou Ens. Tem por objetos conjuntos e por morfismos as funções entre conjuntos. A composição de morfismos é dada pela composição usual de funções.
  • A categoria dos Grupos. Tem por objetos grupos e por morfismos os homomorfismos de grupos. A composição é dada pela composição de funções; a composição de homomorfismos de grupo é ainda um homomorfismo de grupo.
  • A categoria dos espaços topológicos. Os objetos são os espaços topológicos; os morfismos são as aplicações contínuas. A composição é a usual.
  • A categoria dos espaços vetoriais. Os objetos são os espaços vetoriais; os morfismos são as transformações lineares.
  • Um grafo orientado define uma categoria, tendo por objetos os nós ou vértices do grafo e por morfismos os caminhos ao longo do grafo. A composição de morfismos é definida pela concatenação de caminhos. Assim, existe um morfismo entre dois nós se existir um caminho, no grafo, que ligue os dois nós.
  • Um conjunto parcialmente ordenado   define uma categoria, tendo por objetos os elementos do conjunto  . Um único morfismo entre dois elementos   e   é definido se  . A lei de composição decorre da transitividade da relação de ordem.

Ver tambémEditar

Ligações externasEditar

ReferênciasEditar

  • Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician (2nd ed.). Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8.
  • Barr, Michael & Wells, Charles, Category Theory for Computing Science, Prentice Hall, London, UK, 1990.


  Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.