Circuito LC

Os circuitos LC comportam-se como ressonadores eletrônicos, sendo um componente chave em muitas aplicações, tais como osciladores, filtros e misturadores de frequência. Esse circuito é muito usado em transmissores sem fio como as comunicações de rádio tanto para emissão quanto recepção.

Esquema elétrico de um circuito LC
Diagrama animado do circuito LC

DefiniçãoEditar

Um circuito LC consiste de um indutor e um capacitor. A corrente elétrica irá alternar com uma frequência angular   dada por

 .

Nessa expressão,   é a indutância e   a capacitância.[1]

Um circuito LC é um modelo idealizado, visto que ele assume que não há dissipação de energia devido à resistência elétrica. Para um modelo incorporando a resistência veja o circuito RLC.

Frequência de ressonânciaEditar

A frequência de ressonância do circuito LC (em radianos por segundo) é

 

A frequência equivalente, medida em hertz é

 

Análise do circuitoEditar

Pela Lei da Tensão de Kirchoff, nós sabemos que a tensão através do capacitor,   deve ser igual à tensão através do indutor,  :

 

Do mesmo modo, pela lei da corrente de Kirchoff, a corrente através do capacitor mais a corrente através do indutor devem ser iguais a zero:

  = 0

Das relações constitutivas para os elementos do circuito, nos sabemos que

 

e

 

Após rearranjar e substituir, nós obtemos uma equação diferencial de segunda ordem

 

Então definimos o parâmetro ω como segue:

 

Com esta definição, podemos simplificar a equação diferencial:

 

O polinomial associado é  , então

 

ou

 
onde j é a unidade imaginária.

Portando, a solução completa para a equação diferencial é

 

e pode ser resolvida para   e   considerando-se as condições iniciais.

Visto que a exponencial é complexa, a solução represente uma corrente alternada senoidal.

Se as condições iniciais são tais que  , então nós podemos utilizar a fórmula de Euler para obter uma senóide real com amplitude   e frequência angular  .

Deste modo, a solução resultante se torna:

 

As condições iniciais que satisfariam este resultado são:

 

e

 

Cálculo da capacitância ou da indutânciaEditar

A equação   recebe três variáveis F (frequência, em hertz), L (indutância, em Henrys) e C (capacitância, em Farads), com F em evidência. Podemos deixar L ou C em evidência, para calcular a indutância ou a capacitância, respectivamente.

Para calcular a capacitância tendo a frequência e a indutância:  

Para calcular a indutância tendo a frequência e a capacitância:  

Impedância dos circuitos LCEditar

LC sérieEditar

Consideremos primeiro a impedância do circuito LC série. A impedância total é dada pela soma das impedâncias capacitiva e indutiva:

 

Escrevendo a impedância indutiva como  , a impedância capacitiva como   e substituindo nós temos:

 

Escrevendo esta expressão sob um denominador comum temos:

 

Note que o numerador implica que se   a impedância total Z será igual a zero e em outros casos diferente de zero. Desse modo o circuito conectado em série irá atuar como um filtro passa-banda, possuindo impedância zero na frequência de ressonância do circuito LC.

LC paraleloEditar

A mesma análise pode ser aplicada ao circuito LC paralelo. A impedância total é então dada por:

 

e após a substituição de   e  , nós temos:

 

o que simplifica a:

 

Note que   porém para todos os outros valores de   a impedância é finita. Deste modo o circuito conectado em paralelo atuará como um filtro rejeita-banda, possuindo impedância infinita na frequência de ressonância do circuito LC.

SeletividadeEditar

Os circuitos LC são comumente utilizados como filtros; a razão L/C determina a sua seletividade. Para um circuito ressonante série, quanto maior a indutância e menor a capacitância, mais estreita é a banda passante. Para um circuito ressonante paralelo o inverso se aplica.

Ver tambémEditar

  A Wikipédia tem o portal:

Referências

  1. Silva, Claudio Elias; et al. (2014). Eletromagnetismo: fundamentos e simulações. São Paulo: Pearson. p. 352. ISBN 978-85-430-0111-1