Circulo de Curvatura

Na geometria diferencial das curvas, o círculo osculador de uma curva plana suave em um dado ponto p na curva é definido como o círculo que passa por p e um par de pontos adicionais na curva infinitamente próximo de p . Seu centro fica na linha normal interna e sua curvatura define a curvatura da curva especificada nesse ponto. Esse círculo, que é aquele entre todos os círculos tangentes no ponto em que se aproxima mais da curva, foi nomeado circulus osculans (latim para "círculo do beijo") por Leibniz .

Um círculo osculante

Círculos osculantes da espiral arquimediana, aninhados pelo teorema de Tait-Kneser . "A espiral em si não é desenhada: nós a vemos como o espaço geométrico dos pontos onde os círculos estão especialmente próximos um do outro".

O centro e o raio do círculo osculante em um determinado ponto são chamados de centro de curvatura e raio de curvatura naquela determinado ponto.

Descrição em termos leigos

Imagine um carro se movendo ao longo de uma estrada curva em um plano. De repente, em um ponto da estrada, o volante trava. Depois disso, o carro se move em um círculo que "beija" a estrada até ponto de tranvar. A curvatura do círculo é igual à da estrada naquele ponto. Esse círculo é o círculo osculante da curva da estrada naquele ponto.

Descrição matemática

Sendo $\gamma$( s ) uma curva plana paramétrica regular, onde s é o comprimento do arco (o parâmetro natural ). Isso determina o vetor tangencial unitário T ( s ), o vetor normal unitário N ( s ), a curvatura k (s ) e o raio da curvatura R (s ) em cada ponto para o qual s é composto:

$T(s)=\gamma '(s),\quad T'(s)=k(s)N(s),\quad R(s)={\frac {1}{\left|k(s)\right|}}.$

Suponha que P seja um ponto em γ onde k ≠ 0. O centro de curvatura será o ponto Q a uma distância R ao longo de N, na mesma direção se k for positivo e na direção oposta se k for negativo. O círculo com centro em Q e com raio R é chamado de círculo osculante da curva γ no ponto P.

Se C é uma curva espacial regular, o círculo osculante é definido de maneira semelhante, usando o vetor normal principal N. Encontra-se no plano osculante, o plano medido pelos vetores normais tangentes e principais T e N no ponto P.

A curva plana também pode ser dada por uma parametrização regular diferente

$\gamma (t)\,=\,{\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{pmatrix}}\,$

onde regular significa que $\gamma '(t)\neq 0$ para todos $t$ . Em seguida, as fórmulas para a curvatura k ( t ), o vetor unitário normal N ( t ), o raio da curvatura R ( t ) e o centro Q ( t ) do círculo osculante são

$k(t)={\frac {x_{1}'(t)\cdot x_{2}''(t)-x_{1}''(t)\cdot x_{2}'(t)}{{\Big (}x_{1}'(t)^{2}+x_{2}'(t)^{2}{\Big )}^{\frac {3}{2}}}}\qquad \qquad \qquad \qquad N(t)\,=\,{\frac {1}{\|\gamma '(t)\|}}\cdot {\begin{pmatrix}-x_{2}'(t)\\x_{1}'(t)\end{pmatrix}}$

$R(t)=\left|{\frac {{\Big (}x_{1}'(t)^{2}+x_{2}'(t)^{2}{\Big )}^{\frac {3}{2}}}{x_{1}'(t)\cdot x_{2}''(t)-x_{1}''(t)\cdot x_{2}'(t)}}\right|\qquad \qquad \mathrm {and} \qquad \qquad Q(t)\,=\,\gamma (t)\,+\,{\frac {1}{k(t)\cdot \|\gamma '(t)\|}}\cdot {\begin{pmatrix}-x_{2}'(t)\\x_{1}'(t)\end{pmatrix}}\,.$

Coordenadas cartesianas

Podemos obter o centro do círculo osculante em coordenadas cartesianas se substituirmos $t=x$ e $y=f(x)$ para alguma função f . Se fizermos os cálculos, os resultados para as coordenadas X e Y do centro do círculo osculante são:

$x_{c}=x-f'{\frac {1+f'^{2}}{f''}}\qquad \qquad {\text{and}}\qquad \qquad y_{c}=f+{\frac {1+f'^{2}}{f''}}$

Propriedades

Para uma curva C dada por equações paramétricas suficientemente suaves (duas vezes continuamente diferenciáveis), o círculo osculante pode ser obtido por um procedimento limitador: é o limite dos círculos que passam por três pontos distintos em C quando esses pontos se aproximam de P. Isso é totalmente análogo à construção da tangente a uma curva como um limite das linhas secantes através de pares de pontos distintos em C se aproximando de P.

O círculo osculante S para uma curva plana C em um ponto regular P pode ser caracterizado pelas seguintes propriedades:

• O círculo S passa por P.
• O círculo S e a curva C têm a linha tangente comum em P e, portanto, a linha normal comum.
• Perto de P, a distância entre os pontos da curva C e o círculo S na direção normal decai à medida do cubo ou uma potência maior da distância a P na direção tangencial.

Isso geralmente é expresso como "a curva e seu círculo osculatório têm o contato de segunda ou maior ordem" em P. Em termos gerais, as funções vetoriais que representam C e S concordam com suas primeira e segunda derivadas em P.

Se a derivada da curvatura em relação a s for diferente de zero em P, o círculo osculante cruza a curva C em P. Os pontos P nos quais a derivada da curvatura é zero são chamados vértices . Se P é um vértice, C e seu círculo osculatório têm contato de ordem pelo menos três. Além disso, se a curvatura tem um máximo ou mínimo local diferente de zero em P, o círculo osculante toca a curva C em P, mas não a atravessa.

A curva C pode ser obtida como o envelope da família de um parâmetro de seus círculos osculantes. Seus centros, isto é, os centros de curvatura, formam outra curva, chamada evolução de C. Os vértices de C correspondem a pontos singulares em sua evolução.

Em qualquer arco de uma curva C, dentro do qual a curvatura é monotônica (ou seja, longe de qualquer vértice da curva), os círculos osculantes são todos disjuntos e aninhados um no outro. Este resultado é conhecido como o teorema de Tait-Kneser .

Exemplos

Parábola

O círculo osculante da parábola em seu vértice tem raio de 0,5 e contato de quarta ordem.

Para a parábola

$\gamma (t)={\begin{pmatrix}t\\t^{2}\end{pmatrix}}$

o raio de curvatura é

$R(t)=\left|{\frac {\left(1+4\cdot t^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{2}}\right|$

No vértice $\gamma (0)={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$ o raio de curvatura é igual a R (0) = 0,5 (veja a figura). A parábola tem contato de quarta ordem com seu círculo osculante. Para um t grande, o raio de curvatura aumenta ~ t ³, ou seja, a curva se endireita cada vez mais.

Curva de Lissajous

Animação do círculo osculante para uma curva de Lissajous

Uma curva de Lissajous com razão de frequências (3: 2) pode ser parametrizada da seguinte forma

$\gamma (t)\,=\,{\begin{pmatrix}\cos(3t)\\\sin(2t)\end{pmatrix}}\,.$

Tem curvatura k ( t ), vetor unitário normal N ( t ) e raio de curvatura R ( t ) dado por

$k(t)={\frac {6\cos(t)(8(\cos t)^{4}-10(\cos t)^{2}+5)}{(232(\cos t)^{4}-97(\cos t)^{2}+13-144(\cos t)^{6})^{3/2}}}\,,$

$N(t)\,=\,{\frac {1}{\|\gamma '(t)\|}}\cdot {\begin{pmatrix}-2\cos(2t)\\-3\sin(3t)\end{pmatrix}}$

$R(t)=\left|{\frac {(232(\cos t)^{4}-97(\cos t)^{2}+13-144(\cos t)^{6})^{3/2}}{6\cos(t)(8(\cos t)^{4}-10(\cos t)^{2}+5)}}\right|\,.$

Veja a figura para uma animação. Lá, o "vetor de aceleração" é a segunda derivada ${\frac {\mathrm {d} ^{2}\gamma (s)}{\mathrm {d} s^{2}}}$ em relação ao comprimento do arco $s$ .

Ciclóide (azul), seu círculo osculante (vermelho) e evoluir (verde).

Um ciclóide com raio de r pode ser parametrizado da seguinte forma:

$\gamma (t)\,=\,{\begin{pmatrix}r(t-\sin t)\\r(1-\cos t)\end{pmatrix}}$

Sua curvatura é dada pela seguinte fórmula:

$\kappa (t)=-{\frac {\left|\csc \left({\frac {1}{2}}t\right)\right|}{4r}}$

que dá:

$R(t)={\frac {4r}{\left|\csc \left({\frac {1}{2}}t\right)\right|}}$

Ver também

• Esfera Osculante

Leitura adicional

Para algumas notas históricas sobre o estudo da curvatura, consulte

• Grattan-Guinness & H. J. M. Bos (2000). From the Calculus to Set Theory 1630-1910: An Introductory History. Princeton University Press. [S.l.: s.n.] ISBN 0-691-07082-2 
• Roy Porter, editor (2003). The Cambridge History of Science: v4 - Eighteenth Century Science. Cambridge University Press. [S.l.: s.n.] ISBN 0-521-57243-6 

Para aplicação em veículos de manobra, consulte

• JC Alexander e JH Maddocks (1988): Sobre manobras de veículos doi:10.1137/0148002
• Murray S. Klamkin (1990). Problems in Applied Mathematics: selections from SIAM review. Society for Industrial and Applied Mathematics. [S.l.: s.n.] ISBN 0-89871-259-9  Murray S. Klamkin (1990). Problems in Applied Mathematics: selections from SIAM review. Society for Industrial and Applied Mathematics. [S.l.: s.n.] ISBN 0-89871-259-9  Murray S. Klamkin (1990). Problems in Applied Mathematics: selections from SIAM review. Society for Industrial and Applied Mathematics. [S.l.: s.n.] ISBN 0-89871-259-9 

Ligações externas

• Weisstein, Eric W. «Osculating Circle» (em inglês). MathWorld 
• math3d : osculating_circle