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Em matemática, especialmente na teoria da ordem e em teoria dos conjuntos, a cofinalidade de um conjunto parcialmente ordenado (A, ≤), cf(A), é o menor dos cardinais dos conjuntos parcialmente ordenados cofinais com (A, ≤) [1]. Dado um conjunto parcialmente ordenado (A, ≤), diz-se que um subconjunto B de A, BA, é cofinal com A (com a ordem anterior restrita a B) se para cada aA existe um bB tal que ab[2]. O conceito de cofinalidade foi introduzido por Felix Hausdorff em 1908[3].

Índice

Cofinalidade de ordinaisEditar

Seja   um ordinal limite. Uma sequência crescente  , com   ordinal limite é dita cofinal com   se  [4].

De maneira similar, a cofinalidade pode ser definida para um ordinal limite   como um ordinal limite  :

 [5].

ExemplosEditar

O conjunto dos números naturais,   é cofinal com o conjunto dos números reais,  , com a ordem usual desses conjuntos, pois para cada número real  , existe um número natural  , tal que  . Da mesma maneira, o conjunto dos números racionais,  , também é cofinal com   e todos esses conjuntos tem cofinalidade  .

O ordinal   tem cofinalidade  , cf( )= , pois segundo a definição geral,   é cofinal com   e  . Considerando a cofinalidade de ordinais, existe a  

 

De maneira análoga,  , pois

 

PropriedadesEditar

A cofinalidade tem as seguintes propriedades:

 [6]
    [7]
 [8]

Deste último obtemos:

 [9]

Referências

  1. Jech [2006] , p. 461.
  2. Ibid.
  3. Hausdorff [1908] , p. 440.
  4. Jech [2006] , p. 31.
  5. Jech [2006] , p. 31.
  6. Ibid.
  7. Kunen (1980), p. 33.
  8. Jech (2006), p. 33.
  9. KUNEN (1980), p. 34.

BibliografiaEditar

  • JECH, Thomas (2006). Set theory (em inglês) 3a. ed. Berlin: Springer. ISBN 3-540-44085-2 
  • KUNEN, Kenneth (1980). Set theory: an introduction to independence proofs (em inglês). Amsterdam: Elsevier. ISBN 0-444-86839-9