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Composição de funções

operação binária em matemática

Em matemática, uma função composta é criada aplicando uma função à saída, ou resultado, de uma outra função, sucessivamente. Como uma função deve possuir um domínio e contradomínio bem definidos e estamos falando de aplicar funções mais de uma vez, devemos ser precisos com relação a como estamos aplicando estas funções.

Índice

DefiniçãoEditar

Seja:

 

e

 

duas funções, Se o domínio de g contiver a imagem de f, podemos definir a função composta:

 

como:

 

Isto é ilustrado na figura abaixo:

 

AssociatividadeEditar

Pode-se então estender a definição para a composição de três ou mais funções, de maneira análoga. Sejam

 .

É fácil mostrar que:

 

Por transitividade e associatividade, define-se a função composta:

 

como:

 

De uma forma geral, basta a imagem   estar contida no domínio de g para podermos definir a função composta   (a definição rigorosa seria uma composição com a função inclusão).

Potência de uma funçãoEditar

Seja  . Neste caso, pode-se definir  ,  , etc. Pode-se portanto definir   (por indução:  ) para  . Definindo-se:

 
 

Chega-se facilmente a:

 

Eventualmente, conforme a estrutura do conjunto A e da função f, é possível estender a definição de   para n inteiro (ou mesmo outros superconjuntos dos naturais).

Ver tambémEditar

Outros projetos Wikimedia também contêm material sobre este tema:
  Livros e manuais no Wikilivros