Comprimento de onda Compton

O comprimento de onda Compton pode ser entendido como uma limitação fundamental na medida da posição de uma partícula, tomando-se as implicações da mecânica quântica e relatividade especial em conta. Isto depende da massa $m\$ da partícula.

Definições matemáticas

O comprimento de onda Compton $\lambda \$ de uma partícula é dado por

$\lambda ={\frac {h}{mc}}=2\pi {\frac {\hbar }{mc}}\$,

onde

$h\$ é a constante de Planck,

$m\$ é a massa da partícula,

$c\$ é a velocidade da luz.

O valor CODATA de 2002 para o comprimento de onda Compton do elétron é 2.4263102175×10⁻¹² m com uma incerteza padrão de 0.0000000033×10⁻¹² m. Outras partículas têm diferentes comprimentos de onda Compton.

Para ver-se isto, note-se que nós podemos medir a posição de uma partícula por incidir luz sobre ela - mas medir a posição precisamente requer luz de pequeno comprimento de onda. Luz de comprimento de onda pequeno consiste de fótons de alta energia. Se a energia destes fótons excede $mc^{2}\$, quando um atinge a partícula onde cuja posição está sendo medida a colisão deve ter suficiente energia para criar uma nova partícula do mesmo tipo. Disto resulta em tornar oculta a questão da localização original da partícula.

Este argumento também mostra que o comprimento de onda Compton é a ponto de interrupção abaixo do qual a teoria quântica de campos – a qual pode descrever a criação e aniquilação de partículas – torna-se importante.

Pode-se fazer o argumento acima um tanto mais preciso como segue-se. Suponhamos que deseja-se medir a posição de um partícula dentro de uma precisão $\Delta x\$. Então a relação de incerteza para a posição e o momento diz que

$\Delta x\,\Delta p\geq \hbar /2$

então a incerteza no momento da partícula satisfaz

$\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2\Delta x}}$

Usando a relação relativística entre momento e energia, quando $\Delta p$ excede $mc$ então a incerteza na energia é maior que $mc^{2}\$, o que é suficiente energia paracriar outra partícula do mesmo tipo. Então, com um pouco de álgebra, nós vemos aqui uma limitação fundamental

$\Delta x\geq {\frac {\hbar }{2mc}}$

Assim, pelo menos dentro de uma ordem de magnitude, a incerteza na posição deve ser maior do que o comprimento de onda de Compton $h/mc\$.

O comprimento de onda de Compton pode ser comparado com o comprimento de onda de de Broglie, o qual depende do momento de uma partícula e determina o ponto de corte entre o comportamento de partícula e onda na mecânica quântica.

O caso dos férmions

Para férmions, o comprimento de onda de Compton determina a seção transversal de interações. Por exemplo, a seção transversal para a dispersão de Thonsom de um fóton de um elétron é igual a

$(8\pi /3)\alpha ^{2}\lambda _{e}^{2}$,

onde $\alpha \$ é a constante de estrutura fina e $\lambda _{e}\$ é o comprimento de onda de Compton do elétron. Para bósons gauge, o comprimento de onda de Compton determina a escala da interação Yukawa: desde que o fóton não tenha massa de repouso, o eletromagnetismo tem escala infinita.

O comprimento de onda de Compton do eléctron é um dos do trio de unidades de comprimento relacionadas, as outras duas sendo raio de Bohr $a_{0}$ e o raio clássico do elétron $r_{e}$. O comprimento de onda de Compton é obtido a partir da massa do elétron $m_{e}$, constante de Planck $h$ e a velocidade da luz $c$. O raio de Bohr é obtido de $m_{e}$, $h$ e a carga do elétron $e$. O raio clássico do elétron é obtido de $m_{e}$, $c$ e $e$. Qualquer um destes três comprimentos pode ser escrito em termos de qualquer outro usando a constante de estrutura fina $\alpha$:

$r_{e}={\alpha \lambda _{e} \over 2\pi }=\alpha ^{2}a_{0}$

A massa de Planck é especial porque ignorando fatores de $2\pi$ e igualmente, o comprimento de onda de Compton para esta massa é igual a seu raio de Schwarzschild. Esta distância especial é chamada comprimento de Planck. Este é um simples caso de análise dimensional: o raio de Schwarzschild é proporcional à massa, onde o comprimento de onda de Compton é proporcional ao inverso da massa.

Comprimento de onda Compton do elétron, do próton e do nêutron

(de CODATA 2006)

• Elétron:λ_C,e = 2,426 310 217 5 (33) × 10⁻¹² m
• Próton: λ_C,p = 1,321 409 844 6 (19) × 10⁻¹⁵ m
• Nêutron: λ_C,n = 1,319 590 895 1 (20) × 10⁻¹⁵ m

Ver também

• Efeito Compton