Comprimento do arco

propriedade

A determinação do comprimento de segmentos de arco irregular — também conhecido como retificação de uma curva — representou uma dificuldade histórica. Embora muitos métodos tenham sido utilizados para curvas específicas, o advento do cálculo levou a uma formulação geral que provê a solução em alguns casos.

Definição precisaEditar

Escolher um finito número de pontos ao longo de uma curva e conectar cada um destes pontos com o próximo com uma linha reta. A soma do comprimento de cada um destes segmentos é o comprimento de um caminho polinomial.

Definição: O comprimento de uma curva é o menor número tal que o comprimento dos caminhos polinomiais nunca pode ultrapassar, não importando quanto juntos sejam colocados os pontos finais do segmentos.

Na linguagem matemática, o comprimento do arco é o supremo de todos comprimentos de um dado caminho polinomial.

Métodos modernosEditar

Considere uma função   tal que   e   (isto é a derivada em relação a x) são contínuas em [ab] . O comprimento s de parte do gráfico de f entre x = a e x = b é dado pela fórmula:

 

a qual se deriva da fórmula da distância aproximada do comprimento do arco composto de muitos pequenos segmentos de reta. Como o número de segmentos tende para o infinito (pelo uso da integral) esta aproximação se torna um valor exato.

Se a curva é definida parametricamente por   e  , então o comprimento do arco entre t = a e t = b é[1]

 

Deve-se notar que a definição acima só pode ser considerada rigorosa caso se prove que duas parametrizações distintas geram o mesmo comprimento de arco.

Método vetorialEditar

Seja    uma partição equidistante do domínio com   e  ,  ,  pontos sobre a curva. Uma possível aproximação para o comprimento da curva é dado pelo comprimento da poligonal. Observe que o comprimento do segmento    é dado por  , logo, a aproximação para o comprimento da curva é

 

 

 


 Naturalmente,    . Como o lado direito da última igualdade é uma soma de Riemann, temos:

 

 

                          

     

Logo, o comprimento do arco S quando a parâmetro corre de  a até  t é:

 

NotasEditar

  1. Carmo (2010), p. 7.

ReferênciasEditar

  • Carmo, Manfredo Perdigão do (2010). Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies 4 ed. Rio de Janeiro: SBM. ISBN 978-85-85818-26-5