Condição de Hölder

Em matemática, uma função a valores reais f sobre $R^{n}$ satisfaz a condição de Hölder, ou é Hölder contínua, quando existem constantes reais não-negativas C, $\alpha$, tais que, $\forall x,y\in \mathbf {R} ^{n}$,

$|f(x)-f(y)|\leq C|x-y|^{\alpha }.$

Esta condição se generaliza para funções entre dois espaços métricos quaisquer. O número $\alpha$ é chamado de expoente da função que satisfaz a condição de Hölder. Se $\alpha =1$, então a função satisfaz a condição de Lipschitz. Se $\alpha =0$, a função é apenas limitada.

Espaços de Hölder que consistem de funções que satisfazem a condição de Hölder permeiam áreas da análise funcional relevantes à resolução de equações diferenciais parciais. O espaço de Hölder $C^{n,\alpha }(\Omega )$, onde $\omega$ é um subconjunto aberto de algum espaço euclidiano, consiste daquelas funções cujas derivadas até ordem n são Hölder contínuas com expoente $\alpha$. Desta forma, temos um espaço vetorial topológico, com a seminorma: $|f|_{C^{0,\alpha }}=\sup _{x,y\in \Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\alpha }}},$

e para $n\geq 0,$

$\|f\|_{C^{n,\alpha }}=\|f\|_{C^{n}}+\max _{|\beta |=n}|D^{\beta }f|_{C^{0,\alpha }}$

onde β varia segundo a notação de multi-índices, e

$\|f\|_{C^{n}}=\max _{|\beta |\leq n}\sup _{x\in \Omega }|D^{\beta }f(x)|$.

Propriedades

• As folhas invariantes de um difeomorfismo parcialmente hiperbólico suave variam Hölder continuamente.