Conjetura Oesterlé–Masser

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Em matemática, a conjetura Oesterlé–Masser ou conjetura abc é um problema em aberto em teoria dos números. Ela foi primeiramente proposta por Joseph Oesterlé [1] e David Masser [2] respetivamente em 1988 e 1985. A conjectura do ABC teve origem como resultado de tentativas de Oesterlé e Masser de entender a conjectura de Szpiro sobre curvas elípticas, que envolve estruturas mais geométricas em sua afirmação do que a conjectura abc. A conjectura abc mostrou-se equivalente à conjectura modificada de Szpiro.

Uma série de conjecturas famosas e teoremas na teoria dos números seguiriam imediatamente da conjectura abc ou de suas versões. Goldfeld (1996) descreveu a conjectura do ABC como "o problema não resolvido mais importante na análise diofantina".

Prova de MochizukiEditar

Em agosto de 2012, o matemático Shinichi Mochizuki[3] disponibilizou uma série de quatro artigos contendo uma séria alegação que ele tinha obtido uma demonstração da conjetura abc[4]. Três anos depois, 2015, a prova de Mochizuki permanece no limbo matemático - nem desmentida nem aceita pela comunidade em geral. Mochizuki estimou que levaria a um estudante de graduação de matemática cerca de 10 anos para ser capaz de entender o seu trabalho, e muitos especialistas acreditam que levaria até mesmo um especialista em geometria aritmética cerca de 500 horas. Até agora, apenas quatro matemáticos dizem terem sido capazes de ler e entender a prova inteira.

Caso Particular para a Conjectura do abcEditar

Seja a,b,cN, de tal forma que temos c = b + a, ao fazer as operações necessárias chegaremos em   ou  , com kNe i índice, onde rad[  ou rad[ .

DemonstraçãoEditar

Dado a equação c = b + a ao multiplicar ambos os lados por b resulta em  , como b = c- a ao substituir no primeiro membro da igualdade temos        ( & ).


Ao Multiplicar ( & ) por   temos   ao substituir o 1ª   por  , temos       ( && ).


Ao Multiplicar ( && ) por   temos  ao substituir o 1ª   por  , temos       ( &&& ).


Ao Multiplicar ( &&& ) por   temos  ao substituir o 1ª   por  , temos       ( &&&& ).

Se continuarmos com a mesma lógica matemática teremos uma sequência no 1ª membro como   com k≥0 ,o mesmo ocorre com o 2ª membro em relação a potência isso é   com k≥0, note que a outra parte do 2ª membro temos;   (Pro), mas ao ignorarmos a o restante é um produtório sendo assim podemos escrever (Pro) como   ou  .

Portanto temos como equações:

  ou  , desde que c = b + a

Se caso c for primo temos que rad( )=c, o mesmo para b se for primo rad( )=b, caso algum seja um número composto teremos;  rad( )=rad( )  , com   primos, de forma análoga temos rad( )=rad( )  , todavia (Pro) já é composto então rad(Pro)   . Onde rad(a)≥q com q um número primo.

Então rad( ) = rad( ) ≥    . isso é valido pois c > b ou c > a e b ≥ a ou a ≥ b, já que c = b + a.

Exemplo com NúmerosEditar

Possibilidades seja c=13 , então b + a, há uma finidade de combinação tipo b = 10 e a = 3 , b = 11 e a = 2, b = 9 e a = 4, b = 8 e a = 5, pode ser qualquer combinação nos naturais dede que c = b + a, o mais simples nesse caso é b=12 e a=1.

Exemplo(1) dada a igualdade 13 = 7 + 6 então c=13, b=7 e a=6 ou 13 = 6 + 7 então c=13, a=7 e b=6 (Usando qualquer uma será valida), com k variando de 1 até 3, optando por c=13, b=7 e a=6 temos:

Para k=1 isso é;

    
   
então
rad ( ) 

Para k=2 isso é;

      
então
rad ( ) 

Para k=3 isso é;

        
então
rad ( ) 

UtilidadeEditar

Suponhamos que queremos encontrar certos divisores das diferenças de duas potências que tenham essas propriedades descritas anteriormente, exemplo o Pequeno Teorema de Fermat que é   , com a ∈ Ζ e p primo, de forma algébrica isso é ∃ t ∈ Z tal que  .

Nesse caso do pequeno teorema de Fermat em relação a formula, temos a seguinte situação particular, transcrevendo a forma algébrica do pequeno teorema de Fermat para se adequar isso é   , como   gerou

  

, então usando as adaptações isso é no lugar de c=a , b=1 , e a=p isso nos dar como fórmula;

      e  

Portanto os divisores de   é p e  .

Para facilitar as operações a fórmula para o Pequeno Teorema de Fermat pode ficar escrita como;

    

Isso significa se p não for primo então t ∈ Q baseado no Teorema Pequeno teorema de Fermat.

Exemplo(1)Editar

para k=1 então  

      

Satisfez a igualdade então 3 é primo.


Exemplo(2)Editar

para k=2 então  

       

Satisfez a igualdade então 5 é primo.

O que irão ver quando k=3 e k=5, é uma contradição do Pequeno teorema de Fermat, o que o pequeno Teorema de Fermat diz ? seja mdc(a,p)=1 isso é a e p primo entre se, então    for primo, intenda que mdc( p + 1 , p) = 1.

Exemplo(3)Editar

para k=3 então  

   
 
Calculo da contradição

Satisfez a igualdade porém 9 não é primo, note que o mdc(10,9)=1, então a divisão não era para ter resultado em um inteiro porém foi o que ocorreu então é uma falha no pequeno teorema de Fermat.

Exemplo(4)Editar

para k=4 então  

   
 
Quando k é 4

Satisfez a igualdade então 17 é primo.

Exemplo(5)Editar

para k=5 então  

   
 
Quando k é 5

Satisfez a igualdade porém 33 não é primo, portanto outra falha do Pequeno Teorema de Fermat.

Diferença de duas potênciasEditar

Sempre que haver uma diferença de duas potências do tipo   é sempre divisível por a e   ou  , dito isso é só adaptar as as bases e expoentes necessário como foi feito para o Pequeno teorema de Fermat.

Ver tambémEditar

Referências

  1. Oesterlé, J., Nouvelles approches du "théorème" de Fermat, Astérisque, Séminaire Bourbaki, (1988) 694 (161): 165-186
  2. Masser, D. W., Open problems, in Chen, W. W. L., Proceedings of the Symposium on Analytic Number Theory (1985), London: Imperial College.
  3. ICM Proceedings 1893-2010
  4. A CONJECTURA abc Arquivado em 3 de março de 2016, no Wayback Machine. por Julio C. Andrade
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