Conjunto conexo

Conjunto conexo, em Teoria dos conjuntos numéricos, é o que não pode ser dividido em apenas dois subconjuntos fechados que não tenham nenhum ponto comum. Ou seja, podemos dizer que um espaço é conexo se pode passar de um ponto qualquer deste espaço para qualquer outro ponto distinto por um movimento contínuo, sem sair dele[1].

Roman A
Letras i e j minúsculas, com pontos em vermelho
Espaço conexo Dois espaços desconexos (é impossível ir da letra propriamente dita até o ponto sem sair do espaço)

DefiniçãoEditar

Mais formalmente podemos definir conjunto conexo da seguinte forma: Diz-se que um conjunto E em um espaço métrico X é conexo se não existem em X dois subconjuntos A e B abertos e disjuntos tais que  ,   e  [2].

Também pode-se definir conjunto desconexo, sendo este um conjunto E que satisfaz às seguintes condições:

  •   com   e   não vazios
  •  
  •  

Nesse caso um conjunto é dito conexo quando ele não é desconexo. Lembramos aqui que a notação   representa o fecho do conjunto A.

Faz sentido também falarmos de espaços conexos, sendo estes espaços que não são a reunião de dois conjuntos abertos disjuntos não vazios, ou seja, um espaço é conexo se admite apenas cisão trivial.

TeoremasEditar

Teorema 1Editar

Dados dois conjuntos B e C, então   se e somente se existem F e G abertos tais que  ,   e  .

Teorema 2Editar

Um subconjunto E da reta real   é conexo se, e somente se, E tem a seguinte propriedade: Se  ,   e  , então  .

CorolárioEditar

Todo os conjuntos conexos da reta são intervalos.

Teorema 3Editar

A imagem de um conjunto conexo por uma aplicação contínua é um conjunto conexo (é um invariante topológico).

Teorema 4Editar

O fecho de um conjunto conexo é conexo.

Teorema 5Editar

O produto cartesiano de espaços métricos  é conexo se, e somente se, cada fator   é conexo.

Exemplos e observaçõesEditar

  • O cilindro C={ } é homeomorfo ao produto cartesiano  . Como   são intervalos, eles são conexos; portanto, o produto cartesiano é conexo e a imagem C de uma aplicação homeomórfica é também um conjunto conexo. Conclui-se, então, que C é um conjunto conexo.
  • Um conjunto conexo, se for complementarmente conjunto compacto, definirá um conjunto contínuo.
  • Os conjuntos   e   são desconexos.

Referências

  1. IA841 — notas de aula — FEEC. Conceitos elementares de topologia. Disponível em: <http://www.dca.fee.unicamp.br/courses/IA841/2s2006/notas/cap6.pdf>. Página 12. Acesso em: 20 janeiro 2011.
  2. Rudin, Walter (1971). Princípios de Análise Matemática 1 ed. Rio de Janeiro: Universidade de Brasília 

Ver tambémEditar

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