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Um conjunto convexo.

Em um espaço euclidiano, uma região convexa é uma região onde, para cada par de pontos dentro da região, cada ponto no segmento de reta que une o par também está dentro da região.[1] Por exemplo, um cubo sólido é um conjunto convexo, mas tudo o que é oco ou tem um recuo, por exemplo, uma forma crescente, não é convexo. De forma geral, em geometria convexa, um conjunto convexo é um subconjunto de um espaço afim que é fechado sob combinações convexas.[2] O limite de um conjunto convexo é sempre uma curva convexa. A interseção de todos os conjuntos convexos contendo um determinado subconjunto A do espaço euclidiano é chamada de invólucro convexo ou envoltória convexa de A. É o menor conjunto convexo contendo A.[3]

Uma função convexa é uma função de valor real definida em um intervalo com a propriedade que sua epígrafe (o conjunto de pontos no gráfico da função ou acima dela) é um conjunto convexo. A minimização convexa é um subcampo de otimização que estuda o problema de minimizar funções convexas sobre conjuntos convexos. O ramo da matemática dedicado ao estudo de propriedades de conjuntos convexos e funções convexas é chamado de análise convexa. A noção de um conjunto convexo pode ser generalizada como descrito abaixo.[4]

Um conjunto côncavo.

Um subconjunto X de um espaço afim é convexo quando todo segmento de reta ligando dois pontos de X está contido em X.

Ou seja:

Se o conjunto X não é convexo, diz-se côncavo. Em convexo é equivalente a conexo, ou seja, os subconjuntos convexos de números reais são os intervalos (incluindo os unitários).

ExemplosEditar

  • Espaços afins;[4]
  • Os sólidos platónicos;
  • Os segmentos de recta;
  • Os subespaços vectoriais de um espaço vectorial;
  • O conjunto solução para um número arbitrário de desigualdades lineares, tais como  . Em particular, o conjunto solução de finitas desigualdades lineares   para alguma matriz     é convexo e é chamado de poliedro;[4]
  • Uma  -vizinhança   tal que  [4]

Combinação convexaEditar

Uma combinação convexa de um conjunto de pontos   é um ponto   que satisfaz

 
onde  

Por exemplo, para  , o conjunto de todas as combinações convexas possíveis é o segmento de reta entre os dois pontos.[3]

Um subconjunto   é dito convexo se, para cada par de pontos  ,   também contém todos pontos do segmento de reta ligando tais pontos. Isto é,   é um conjunto convexo se   contém todas combinações convexas de todos seus pontos.[3]

PropriedadesEditar

Valem as seguintes propriedades:

  •   é convexo se, e somente se, toda combinação convexa de pontos pertencentes a   pertence a  .[4]
  • Um conjunto não vazio que é a interseção de (talvez infinitas) um conjunto de conjuntos convexos é um conjunto convexo.
  • Se   é um conjunto convexo e   é uma variável aleatória que pertence a   como probabilidade  . Então  .

Operações que preservam convexidadeEditar

  • Interseção: se   são conjuntos convexos, então   é convexo.[4]
  • Imagem de um conjunto convexo sob uma função afim: se   é convexo e   é afim, então   é convexa. Exemplos: se   é convexo então   (translação de  ) e   (multiplicação por um escalar) são convexos.
  • Imagem inversa de um conjunto convexo sob alguma função afim: se   é afim e   é convexo então  
  • Projeção: a projeção de um conjunto convexo sobre alguma de suas coordenadas é um conjunto convexo:   é convexo então   é convexo.
  • Soma de dois conjuntos
  • Produto cartesiano de dois conjuntos

Ver tambémEditar

Referências

  1. Morris, Carla C.; Stark, Robert M. (24 de agosto de 2015). Finite Mathematics: Models and Applications (em inglês). [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 9781119015383 
  2. Bachem, Achim; Kern, Walter (6 de dezembro de 2012). Linear Programming Duality: An Introduction to Oriented Matroids (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9783642581526 
  3. a b c Robert J. Vanderbei. «10». Linear Programming: Foundations and Extensions 2 ed. Nova Jersey: Princeton University 
  4. a b c d e f Guigues, Vincent. Notas de aula de Modelagem Matemática 3. FGV, 2018
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