Conjunto de Julia

fractal definido de forma semelhante ao conjunto de Mandelbrot

No contexto de dinâmica complexa, um tópico da matemática, o conjunto de Julia e o conjunto de Fatou são dois conjuntos complementares definidos por uma função. Informalmente, o conjunto de Fatou de uma função consiste nos valores com a propriedade de que todos os valores próximos comportam-se de forma similar por iterações repetidas, e o conjunto de Julia consiste dos valores tais que uma perturbação arbitrariamente pequena pode causar mudanças drásticas na sequência de valores iterados da função. Assim, o comportamento da função do conjunto de Fatou é dito 'regular', enquanto no conjunto de Julia ele é 'caótico'.

Um conjunto de Julia

O conjunto de Julia de uma função é usualmente denotado , e o conjunto de Fatou denotado .[1] Esses conjuntos tem seu nome em homenagem aos matemáticos franceses Gaston Julia[2] e Pierre Fatou,[3] cujos trabalhos começaram o estudo de dinâmica complexa no início do século XX.

Polinômios quadráticos

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Um exemplo de sistema dinâmico complexo é o da família de polinômios quadráticos, um caso especial de mapa racional. O polinômio quadrático pode ser expresso como:

 

(onde o parâmetro   é um número complexo)

Nesse caso, os valores do parâmetro   para os quais o conjunto de Julia é conexo formam o conjunto de Mandelbrot.

Quaterniões

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Conjunto de Julia Cheio

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Seja   um polinômio complexo mônico de grau  . Denotamos por   a  ésima iterada de  . O Conjunto de Julia Cheio de   é definido por

 

Com a definição de conjunto de Julia Cheio e com a definição do conjunto de Julia, observamos que o conjunto de Julia é o bordo do conjunto de Julia Cheio:

 

Exemplos

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Ver também

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Referências

  1. Note que em outras áreas da matemática a notação   pode também representar a Matriz Jacobiana de um mapa real   entre variedades diferenciáveis.
  2. Gaston Julia (1918) "Mémoire sur l'iteration des fonctions rationnelles," Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, vol. 8, pages 47–245.
  3. Pierre Fatou (1917) "Sur les substitutions rationnelles," Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, vol. 164, pages 806-808 and vol. 165, pages 992–995.