Conjunto de Julia
No contexto de dinâmica complexa, um tópico da matemática, o conjunto de Julia e o conjunto de Fatou são dois conjuntos complementares definidos por uma função. Informalmente, o conjunto de Fatou de uma função consiste nos valores com a propriedade de que todos os valores próximos comportam-se de forma similar por iterações repetidas, e o conjunto de Julia consiste dos valores tais que uma perturbação arbitrariamente pequena pode causar mudanças drásticas na sequência de valores iterados da função. Assim, o comportamento da função do conjunto de Fatou é dito 'regular', enquanto no conjunto de Julia ele é 'caótico'.
O conjunto de Julia de uma função é usualmente denotado , e o conjunto de Fatou denotado .[1] Esses conjuntos tem seu nome em homenagem aos matemáticos franceses Gaston Julia[2] e Pierre Fatou,[3] cujos trabalhos começaram o estudo de dinâmica complexa no início do século XX.
Polinômios quadráticos
editarUm exemplo de sistema dinâmico complexo é o da família de polinômios quadráticos, um caso especial de mapa racional. O polinômio quadrático pode ser expresso como:
(onde o parâmetro é um número complexo)
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Filled Conjunto de Julia para fc, c=1−φ onde φ é a razão áurea
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Conjunto de Julia para fc, c=(φ−2)+(φ−1)i =-0.4+0.6i
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Conjunto de Julia para fc, c=0.285+0i
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Conjunto de Julia para fc, c=0.285+0.01i
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Conjunto de Julia para fc, c=0.45+0.1428i
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Conjunto de Julia para fc, c=-0.70176-0.3842i
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Conjunto de Julia para fc, c=-0.835-0.2321i
Nesse caso, os valores do parâmetro para os quais o conjunto de Julia é conexo formam o conjunto de Mandelbrot.
Quaterniões
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Conjunto de Julia gerado por uma função dos quaterniões.
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Fatias tridimensionais através do conjunto de Julia (quadri-dimensional) de uma função dos quaterniões.
Conjunto de Julia Cheio
editarSeja um polinômio complexo mônico de grau . Denotamos por a ésima iterada de . O Conjunto de Julia Cheio de é definido por
Com a definição de conjunto de Julia Cheio e com a definição do conjunto de Julia, observamos que o conjunto de Julia é o bordo do conjunto de Julia Cheio:
Exemplos
editar-
Conjunto de Julia Cheio P(z) =z2−0.4+0.6i.
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Conjunto de Julia Cheio P(z) =z2 −0.8 + 0.156i.
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Conjunto de Julia Cheio P(z) =z2+ 0.285 + 0.01i.
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Conjunto de Julia Cheio P(z) =z2 -1.476.
Ver também
editarReferências
- ↑ Note que em outras áreas da matemática a notação pode também representar a Matriz Jacobiana de um mapa real entre variedades diferenciáveis.
- ↑ Gaston Julia (1918) "Mémoire sur l'iteration des fonctions rationnelles," Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, vol. 8, pages 47–245.
- ↑ Pierre Fatou (1917) "Sur les substitutions rationnelles," Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, vol. 164, pages 806-808 and vol. 165, pages 992–995.