Conjunto de medida zero

conjunto mensurável cuja medida é nula

Em matemática, o conceito de conjunto de medida zero ou nula é uma formalização da ideia de insignificante.

Na teoria das probabilidades, medida zero indica probabilidade zero.

Mais precisamente falando, se é um espaço de medida, um conjunto é dito ter medida zero se:

Um conjunto, por outro lado, é dito ter medida plena em X se o seu complementar em X tiver medida zero.

Em análise real, a medida de Lebesgue possui especial importância e, muitas vezes, usa-se o termo medida zero para indicar medida de Lebesgue zero. Mesmo em contextos de introdução à análise, o conceito de conjunto de medida zero é introduzido sem referências à teoria da medida.

Exemplo: conjunto de medida (de Lebesgue) zero na reta

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Seja   um conjunto qualquer na reta. Dizemos que   é uma cobertura de bolas abertas para   se satisfizer as hipóteses:

  •  
  •   são bolas abertas com centro em   e raio  

O comprimento da cobertura   é definido como:   Note-se que não é necessário que as bolas sejam disjuntas.

Um conjunto   é dito ter medida zero se para todo  , existir uma cobertura de bolas abertas de comprimento menor ou igual a  .

Exemplo

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O conjunto dos números inteiros,   tem medida zero.

Sabe-se que   é enumerável, portanto pode ser escrito como:  

Fixe um   arbitrário e considere as bolas:     E o comprimento da cobertura   é:  

Observe que, de forma geral, todo conjunto enumerável possui medida de Lebesgue zero.

Propriedades

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  • Pode-se imitar a demonstração acima para mostrar que a união enumerável de conjuntos de medida zero tem medida zero
  • É fácil ver que se   e B tem medida zero, então A também tem medida zero (esta é a definição de medida completa).
  • O lema de Riemann-Lebesgue diz que uma função real limitada é integrável a Riemann se e somente se seus pontos de descontinuidade formam um conjunto de medida zero.

Ver também

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Wikilivros
O Wikilivros tem um livro chamado Medida e integração