Conjunto perfeito

Na matemática, em especial, na topologia, um conjunto perfeito é um conjunto fechado formado apenas por pontos de acumulação. Equivalentemente, um conjunto é dito perfeito se for fechado e não possui pontos isolados. Com isto temos que todo ponto de um conjunto perfeito pode ser aproximado por outros pontos deste mesmo conjunto perfeito, isto é, dados um ponto e uma vizinhança deste, existe um outro ponto nesta vizinhança.

Exemplos

Conjunto dos reais

O conjunto $\mathbb {R}$ dos números reais é um conjunto perfeito.

Demonstração.

É sabido que $\mathbb {R}$ é um conjunto fechado, portanto, basta mostrarmos que este não contém pontos isolados. Para tal, considere $x\in \mathbb {R}$ e $\epsilon >0$, temos que ${\frac {x+\epsilon }{2}}\in \mathbb {R}$ e ${\frac {x+\epsilon }{2}}$ está na vizinhança de $x$ com raio $\epsilon$. Logo, temos que $x$ não é um ponto isolado. Portanto, $\mathbb {R}$ é um conjunto perfeito.

Intervalos fechados

Todo intervalo fechado $I\subseteq \mathbb {R}$ é um conjunto perfeito.

Demonstração

Dado um intervalo fechado $I\subseteq \mathbb {R}$, temos que $I$ não contém pontos isolados, pois caso contrário $\mathbb {R}$ conteria pontos isolados. Logo, $I$ é um conjunto perfeito.

Teorema

Dado um ponto $x$ de um conjunto perfeito $P$, temos que existe uma sequência $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ tal que, $x_{n}\in P\setminus \{x\}$, para todo $n$ inteiro positivo e $x_{n}\longrightarrow x$.

Demonstração

Como todo ponto de $P$ é ponto limite, o resultado segue imediatamente. Porém, podemos construir tal sequência da seguinte forma. Dado $\epsilon _{1}$, temos que existe $x_{1}\in V_{\epsilon _{1}}(x)\cap P\setminus \{x\}$. Indutivamente, dado um inteiro positivo $k$, seja $\epsilon _{k}={\frac {\epsilon _{k-1}}{2}}$, temos que existe $x_{k}\in V_{\epsilon _{k}}(x)\cap P\setminus \{x\}$. Note que a sequência $\{\epsilon _{n}\}_{n=1}^{\infty }$ converge para zero, o que implica que, para dado $\epsilon >0$, existe um inteiro positivo $N$ tal que, para todo $n>N$, $\epsilon _{n}<\epsilon$. Porém, como $\|x_{n}-x\|<\epsilon _{n}$, temos que $\|x_{n}-x\|<\epsilon$, o que garante que $x_{n}\longrightarrow x$.

Teorema

Se um conjunto $P$ é perfeito em $\mathbb {R} ^{k}$ e não é um conjunto vazio, então $P$ não é enumerável.

Demonstração

Como $P$ é perfeito, temos que $P$ é formado por pontos limites, de modo que $P$ é um conjunto infinito. Suponhamos, por absurdo, que $P$ seja um conjunto enumerável. Considere, portanto, $x_{1},x_{2},\ldots$, seus elementos. Considere $V_{1}=\{y\in \mathbb {R} ^{k}:\|y-x_{1}\|<r\}$, de modo que o fecho de $V_{1}$ é ${\bar {V}}_{1}=\{y\in \mathbb {R} ^{k}:\|y-x_{1}\|\leq r\}$. Considere, para os inteiros $n\geq 1$, as vizinhanças $V_{n+1}$ satisfazendo o seguinte.

(i) ${\bar {V}}_{n+1}\subset V_{n}$.

(ii) $x_{n}\notin {\bar {V}}_{n+1}$.

(iii) $V_{n+1}\cap P\neq \emptyset$.

O item (iii) garante que esta construção pode ser feita indutivamente.

Agora, considere $K_{n}={\bar {V}}_{n}\cap P$. Como ${\bar {V}}_{n}$ é fechado e limitado, temos que ${\bar {V}}_{n}$ é um conjunto compacto. Como $x_{n}\notin K_{n+1}$, temos que nenhum ponto de $P$ pertence a $\bigcap _{n=1}^{\infty }K_{n}$. Como $K_{n}\subset P$, temos que $\bigcap _{n=1}^{\infty }K_{n}=\emptyset$. Porém, pelo item (iii) temos que $K_{n}\neq \emptyset$, pelo item (i) temos que $K_{n+1}\subset K_{n}$. Porém, isto é uma contradição.