Conjuntos bem separados

Em espaços métricos, o conceito de conjuntos bem separados é mais forte que o conceito de desconexos. Dois conjuntos não vazio são ditos bem separados se a distância entre eles é positiva.

A e B são bem separados.

DefiniçãoEditar

Seja   um espaço métrico, define-se a distância entre dois subconjuntos   e   não-vazios de   como o ínfimo das distâncias entre um ponto do conjunto   e um ponto do conjunto  :

 

Se   então diz-se que   e   são conjuntos bem separados.

Conjuntos bem separados desconexosEditar

Seja   e   conjuntos bem separados em um espaço métrico  . Seja ainda:

 

Defina os conjuntos abertos:

 
 

onde   é a bola de centro   e raio   definida como:

 

É fácil ver que   e   são disjuntos e ainda que   e  .

PropriedadesEditar

  • Se   e   são disjuntos, e   é compacto e   é fechado, então   e   são bem separados.
  •   então   e   não são bem separados.
  • Sejam   e   dois conjuntos bem separados em   então:
 , onde   é medida exterior de Lebesgue.


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