Consistência lógica

Consistência lógica

Na lógica uma teoria consistente é uma que não contenha uma contradição. A falta de contradições pode ser definida em termos semânticos ou sintáticos. A definição semântica estabelece que uma teoria é consistente se e somente se tiver um modelo, ou seja, existe uma interpretação segundo a qual todas as fórmulas são verdadeiras. A definição sintática estabelece que uma teoria é consistente se e somente se não há fórmula P tal que P e sua negação são demonstráveis ​​a partir dos axiomas da teoria sob o seu sistema associado dedutivo.

Se essas definições semânticas e sintáticas são equivalentes para uma determinada lógica, a lógica é completa.A completude do cálculo sentencial foi provado por Paul Bernays em 1918 e Emil Post em 1921, enquanto a completude do cálculo de predicados foi provado por Kurt Gödel em 1930, provas e consistência para aritmética restritas no que diz respeito ao esquema de axioma de indução foi provado por Ackermann (1924), von Neumann (1927) e Herbrand (1931).

Apesar de consistência pode ser comprovada por meio de teoria de modelos, muitas vezes é feito de uma maneira puramente sintática, sem qualquer necessidade de referência a algum modelo de lógica.

A prova de consistência é uma prova matemática de que uma determinada teoria é consistente. O desenvolvimento inicial da teoria da prova matemática foi motivada pelo desejo de fornecer provas de consistência finitas para toda a matemática como parte do programa de Hilbert. Programa de Hilbert foi fortemente impactado pela teoremas da incompletude, que mostraram que as teorias de prova suficientemente fortes não podem provar sua própria consistência (desde que sejam de fato consistente).

Consistência e completude na aritmética

Nas teorias da aritmética, como a aritmética de Peano, há uma intrincada relação entre a consistência da teoria e da sua completude. Uma teoria é completa se, para cada φ fórmula na sua linguagem, pelo menos um dos φ ou ¬φ é uma consequência lógica da teoria.

A Aritmética de Presburger é um sistema de axiomas para os números naturais sob adição. É um exemplo que é tanto consistente quanto completa.

Teoremas de incompletude de Gödel mostram que qualquer teoria suficientemente forte e eficaz da aritmética não pode ser completa e consistente. Teorema de Gödel se aplica às teorias aritméticas de Peano (PA) e aritmética recursiva primitiva (PRA), mas não a aritmética de Presburger.

Além disso, segundo o teorema de Gödel da incompletude que mostra que a consistência das teorias fortes suficientemente vigentes da aritmética pode ser testada de uma forma particular. Tal teoria é consistente se e somente se ele não provar uma sentença particular, chamada de sentença de Gödel da teoria, que é uma declaração formal da alegação de que a teoria é de fato consistente.

Fórmulas

Um conjunto de fórmulas Φ em lógica de primeira ordem é consistente (escrito Con Φ) se e somente se não existe uma fórmula φ tal que Φ deriva-se de φ e Φ deriva-se de ¬φ. Caso contrário, Φ é inconsistente e está escrito Inc Φ.

Φ é simplesmente consistente se e somente se para nenhuma fórmula φ de Φ, tanto φ quanto a negação de φ são teoremas de Φ.

Φ é absolutamente consistente ou Pós consistente se e somente se pelo menos uma fórmula de Φ não é um teorema de Φ.

Φ é maximamente consistente se e somente se para cada fórmula φ, se Con (Φ U φ), em seguida, φ E Φ.

Resultados básicos

1.As sentenças a seguir são equivalentes:

   1.IncΦ
   2.Para todo φ, Φ deriva-se de φ.

2.Cada conjunto satisfatível de fórmulas é consistente, onde o conjunto de fórmulas Φ é satisfatível se e somente se existe um modelo Χ such that Χ é consequência lógica Φ.

3.Para todo Φ and φ:

   1.Se ¬Φ deriva-se de φ, então ConΦ U {¬φ}
   2.Se ConΦ e Φ deriva-se de φ, então ConΦ U {φ}
   3.Se ConΦ, então ConΦ U {¬φ}