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Constante de Euler-Mascheroni

A área da região em azul converge para a constante de Euler-Mascheroni

A constante de Euler-Mascheroni é uma constante matemática, geralmente denotada pela letra grega gama ( ) , com múltiplas utilizações em Teoria dos números. Ela é definida como o limite da diferença entre a série harmônica e o logaritmo natural.

que pode ser condensada assim :

em que E(x) é a parte inteira de x.

A demonstração da existência de um tal limite pode ser feita pela aplicação do método da comparação série-integral.

As aplicações da constante incluem sua relação com a função gama e a fórmula da reflexão de Euler, além da relação com a função zeta de Riemann e com integrais e integrações impróprias da função exponencial para determinados valores de

Valor aproximadoEditar

As 100 primeiras casas decimais dessa constante são

γ ≈ 0,5772156649015328606065120900824024310421593359399235988057672348848677267776646709369470632917467495

Em 1781, Leonhard Euler obteve as 16 primeiras decimais graças ao método de soma de Euler-Mac Laurin. Lorenzo Mascheroni determinou 32 casas decimais para a sua obra Geometria del compasso, que contribuiu a tornar conhecida a constante.

HistóriaEditar

A constante foi definida pela primeira vez pelo matemático suíço Leonhard Euler no artigo De Progressionibus harmonicus observationes, publicado em 1735. Euler usou a notação C para a constante, e inicialmente calculou seu valor até 6 casas decimais. Em 1761 Euler estendeu seus cálculos, publicando um valor com 16 casas decimais. Em 1790 o matemático italiano Lorenzo Mascheroni introduziu a notação γ para a constante, e tentou estender o cálculo de Euler ainda mais, a 32 casas decimais, apesar de cálculos subseqüentes terem mostrado que ele cometera erros na 20°, 22° e 32 casas decimais. (Do 20° dígito, Mascheroni calculou 1811209008239.)

Não se sabe se a constante de Euler-Mascheroni é ou não um número racional. No entanto, análises mostram que se γ for racional, seu denominador tem mais do que 10242080 dígitos (Havil, page 97).

ConvergênciaEditar

Como podemos escrever:

 

Como  

 

Mostremos que a série converge uniformemente, para tal usamos a estimativa:

 
 

Essa última expressão corresponde à

 

Que é a série telescópica Dessa forma,

 

PropriedadesEditar

O número   não foi provado que seja algébrico ou transcendente, e , nem sequer se conhece se   é irracional ou não[1]. A análise de frações contínuas revela que se   é racional, seu denominador deve ser da ordem de  [2]. Devido ao fato de estar presente em um grande número de equações e relações, a racionalidade ou irracionalidade de   está os problemas abertos mais importantes da Matemática.

A seguir estão apresentadas as relações mais importantes de   com funções, séries e integrais.

Representação Original (Euler)Editar

Foi descoberta em 1734, por Euler, representando   como uma série infinita da seguinte forma:

 

Relação com a Função GamaEditar

Se tomarmos a função gama, derivando-a e analisando-a em 1, obtemos - . O mesmo comportamento é observado se analisarmos a função digama em 1, ou seja:

 

também como o limite:

 

O limite relacionado com a função beta ( expressa em termos da função gama) é:

 

e como função beta:

 

Relação com a Função Zeta de RiemannEditar

  pode ser expresso por uma soma infinita, cujos termos envolvem a Função Zeta de Riemann para números positivos da seguinte forma:

 

Outras séries relacionadas com a função zeta são:

 

O termo erro na última equação está decrescendo rapidamente em função de n . Como resultado, a fórmula se mostra bastante eficiente para cálculo de grande quantidade de dígitos da constante   com extrema precisão.

Outro limite interessante relacionado com a Constante de Euler-Mascheroni e a função zeta é o limite assimétrico:

 

Representação com IntegraisEditar

  é igual ao valor de um número determinado de integrais definidas:

 

Dentre as integrais definidas nas quais aparece a constante   estão:

 

 

Uma expressão em que se expressa   como uma integral dupla[3], com sua série equivalente é:

 

Representação com SériesEditar

Além da série original de Euler, são conhecidas outras séries,em que se inclui:

 

encontrada por Nielsen em 1897.

Em 1912, Vacca encontrou a seguinte série relacionada a  :

 

onde [ ] é a função piso e   é o logaritmo de base 2 ;

Em 1926, Vacca encontrou outra série similar a anterior:

 

que também pode ser escrita como:

 [4]

As últimas 2 séries podem ser obtidas através da manipulação da Integral de Catalão( ver Sondow e Zudilin)

 

Representação em forma de fração contínuaEditar

A representação de   em termos de fração contínua é:

 

mais precisamente:

  (sequência A002852 na OEIS).

Referências

  1. Courant, R. Introducción al Cálculo y al Análisis Matemático. México: Editorial Limusa 
  2. Havil (2003). Título ainda não informado (favor adicionar). [S.l.: s.n.] p. 97 
  3. «Jonathan Sondow» 
  4. Krämer, Stefan. «Euler's Constant γ=0.577... Its Mathematics and History» 
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