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Limite

termo matemático
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Em matemática, o conceito de limite é usado para descrever o comportamento de uma função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de uma sequência de números reais, à medida que o índice (da sequência) vai crescendo, i.e. tende para infinito. Os limites são usados no cálculo diferencial e em outros ramos da análise matemática para definir derivadas e a continuidade de funções.

Índice

Limite de uma sequênciaEditar

 Ver artigo principal: Limite de uma sequência

Seja   uma sequência de números reais. A expressão:

 
significa que, para índices   suficientemente grandes, os termos   da sequência estão arbitrariamente próximos do valor   Neste caso, dizemos que o limite da sequência é  

A forma usual de escrever isso, em termos matemáticos, pode ser interpretada como um desafio. O desafiante propõe quão perto de   os termos da sequência devem chegar, e o desafiado deve mostrar que, a partir de um certo índice  , os demais termos da sequência estão tão ou mais perto de   quanto solicitado.

Ou seja, qualquer que seja o intervalo em torno de   (dado pelo desafiante), por exemplo, o intervalo aberto   com  , o desafiado deve exibir um número natural   tal que   com   tem-se que  .

Formalmente, o que foi dito acima se expressa assim[1]:

 

Limite de uma funçãoEditar

 Ver artigo principal: Limite de uma função

Suponhamos que   é uma função real e que   é um número real. A expressão:

 
significa que   se aproxima tanto de   quanto quisermos, quando se toma   suficientemente próximo de  [2][3]. Quando tal acontece dizemos que o limite de  , à medida que   se aproxima de  , é  .

Note-se que esta definição não exige (ou implica) que  , nem sequer que   esteja definida em  . Agora, no caso de   existir (estar definido) e

 
diz-se que   é contínua no ponto  .

ExemplosEditar

Consideremos

 
à medida que   se aproxima de  , i.e busquemos calcular
 
Neste caso,   está definida em   e é igual ao seu limite:   vejamos:
f(1.9) f(1.99) f(1.999) f(2) f(2.001) f(2.01) f(2.1)
0.4121 0.4012 0.4001   0.4   0.3998 0.3988 0.3882

À medida que   aproxima-se de  ,   aproxima-se de   e consequentemente temos

 
Ou seja,   é contínua no ponto  .

Vejamos, agora, o seguinte exemplo de uma função não contínua (descontínua):

 
O limite de   à medida que   se aproxima de   é   (tal como no exemplo acima), mas
 
e consequentemente   não é contínua em  .

Consideremos, agora, mais o seguinte exemplo de uma função descontínua:

 
Apesar de   não estar definida em  , pode-se demonstrar (por exemplo, via regra de l'Hôpital) que
 
h(0.9) h(0.99) h(0.999) h(1.0) h(1.001) h(1.01) h(1.1)
1.95 1.99 1.999   não está definido   2.001 2.010 2.10

Observa-se que   pode ser tomado tão próximo de   quanto quisermos, sem no entanto ser igual a , donde infere-se que o limite de   é  .[3]

Definição formalEditar

 
A definição ε-δ de limite.

Sejam   um intervalo de números reais,   e   uma função real definida em   Escrevemos

 
quando para qualquer que seja   existe um   tal que para todo   satisfazendo   vale  [1]. Ou, usando a notação simbólica:

 
Exemplos de provas de limites
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Exemplo 1Editar

 Editar

Supondo um  

 

 

Dividindo por 3 em ambos os lados:

 

O que prova o limite com  

Exemplo 2Editar

 

Supondo um  

 

 

E isso completa a prova com  

Aproximação intuitivaEditar

A noção de limite é fundamental no início do estudo de cálculo diferencial. O conceito de limite pode ser aprendido de forma intuitiva, pelo menos parcialmente.

Quando falamos do processo limite, falamos de uma incógnita que "tende" a ser um determinado número, ou seja, no limite, esta incógnita nunca vai ser o número, mas vai se aproximar muito, de tal maneira que não se consiga estabelecer uma distância que vai separar o número da incógnita. Em poucas palavras, um limite é um número para o qual y = f(x) difere arbitrariamente muito pouco quando o valor de x difere de x0 arbitrariamente muito pouco também.

Por exemplo, imaginemos a função:   e imaginando   (Definida nos reais). Sabemos, lógico, que esta função nos dá o gráfico de uma reta, que não passa pela origem, pois se substituirmos:   que nos dá:   ou seja, no ponto onde x=0 (origem), o y (f(x)) é diferente de zero. Mas usando valores que se aproximem de 1, por exemplo:

  • Se x=0,98 então: y=f(x)=2,96
  • Se x=0,998 então: y=f(x)=2,996
  • Se x=0,9998 então: y=f(x)=2,9996
  • Se x=0,99999 então: y=f(x)=2,99998

Ou seja, à medida que x "tende" a ser 1, o y "tende" a ser 3. Então no processo limite, quando tende a ser um número, esta variável aproxima-se tanto do número, de tal forma que podemos escrever como no seguinte exemplo:


Exemplo 1.1: Sendo uma função f definida por:   nos reais, calcular o limite da função   quando   Temos então, neste caso, a função descrita no enunciado e queremos saber o limite desta função quando o "x" tende a ser 1: Ou seja, para a resolução fazemos:

Então, no limite é como se pudéssemos substituir o valor de x para resolvermos o problema. Na verdade, não estamos substituindo o valor, porque para o cálculo não importa o que acontece no ponto x, mas sim o que acontece em torno deste ponto. Por isso, quando falamos que um número "tende" a ser n, por exemplo, o número nunca vai ser n, mas se aproxima muito do número n. Enfim, como foi dito anteriormente, a definição de limite é tão e somente intuitiva. Vai de analisar a função que está ocorrendo apenas. Agora, o exercício do Exemplo 1.1 mostra que x se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja:

Porém, temos também uma outra forma de se aproximar do número 3, na função   descrita nos exemplo acima, por exemplo: Se x=2, y=f(x)=5 ; Se x=1,8 então: y=f(x)=4,6 ; Se x=1,2 temos que: y=f(x)=3,4 ; Se x=1,111 então: y=f(x)=3,222 Podemos perceber então, que x está tendendo a 1 pela direita agora, e não mais pela esquerda como foi mostrado no exemplo anterior. Então para resolvermos problemas que envolvem cálculo, devemos saber como a função que está em jogo se comporta.

Limites em funções de duas ou mais variáveisEditar

A noção de limite, conquanto seja a mesma para todos os tipos de funções numéricas, nem sempre é fácil de se calcular. Muitas vezes é mesmo difícil de se afirmar que o limite exista ou não. A função distância entre os objectos da função, na definição formal anteriormente apresentada para uma variável, dada por   não pode ser utilizada. Neste contexto, surge a necessidade de uma função distância. Nesse caso, a definição de limite é a seguinte[4]:

Seja   uma função do tipo:

 

 

Em que   é um vector com   coordenadas e   um número real. Se   for um vector com   coordenadas, então:

 

Em que   é a função distância.

ExemploEditar

Uma função do tipo:

 

 

pode ter evidentemente um limite, mas aqui há uma diferença fundamental.

Sobre a reta real, só existe verdadeiramente um grau de liberdade, ou seja, só se pode ir para a direita (no sentido de maiores números reais) ou para a esquerda (no sentido de menores números reais).

Com uma função de duas variáveis (só para ficar no caso mais simples) tem-se dois graus de liberdade. Consequentemente, pode-se ter infinitos caminhos entre dois pontos, o que na verdade influencia o valor do limite.

Ora, para que exista um valor de limite, é necessário que ele seja independente do caminho tomado para que o(s) valor(es) da(s) variável(eis) independentes sejam alcançados. Isso é verdade no caso unidimensional, quando os dois limites laterais coincidem. Caso contrário, o limite não existe.

De forma semelhante, quando se tem uma função bidimensional como:

 

 

o limite pode ser testado através de vários caminhos.

Suponha que se queira verificar o seguinte limite L desta função:

 

Pode-se aproximar-se do valor (0,0) através das seguintes possibilidades (de entre uma infinidade delas):

  • o limite através do eixo dos   ou seja,

 

Nesse caso o limite L é zero.

  • o limite através do eixo dos   ou seja,

 

Nesse caso, o limite L é também zero.

Poder-se-ia ficar enumerando todas as possibilidades, mas seria ocioso. No caso dessa função, o limite nesse ponto é sempre zero, conforme demonstraremos.

Vamos, então, provar que

 

Ou seja, provar que

 
 

Vamos procurar escrever   em função de  

 

 

Se escolhermos   então, pela segunda desigualdade,   o que prova o nosso limite.

Um exemplo de uma função que não apresenta valor de limite em (0,0) é a função:

 

 

que pode ser provado fazendo-se a aproximação do ponto (0,0) através das parametrizações dadas pelas equações paramétricas:

 

 

a função toma a forma

 

Vê-se, então, que o valor do limite depende do ângulo α pelo qual a reta de parametrização permite que se aproxime do ponto (0,0). Dessa forma, o limite não existe nesse ponto para essa função.

Referências

  1. a b Lima, Elon Lages (2013). Curso de Análise Vol.1 14 ed. [S.l.]: IMPA. ISBN 9788524401183 
  2. Anton, Howard (2007). Cálculo - Volume 1 8 ed. [S.l.]: Bookman. ISBN 9788560031634 
  3. a b Stewart, James. Cálculo vol. I. ISBN 978-85-221-0660-8. Ed. Cengage, 2009, pg. 98.
  4. STEWART, James. Cálculo, volume 2. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2007. 5ª edição. ISBN 85-211-0484-0. Página 900.

Ver tambémEditar